怎样培养学生的几何证明能力

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什么是几何证明？证明是从已知（题设）出发，经过严密的推理，经过一系列的推理步骤，最后推导出结论（求证）的过程。几何证明能力与逻辑推理能力有着密切的联系，对训练学生思维有着重要的作用，它可以加深学生思维的深刻性、逻辑性、缜密性。但在教学实践中笔者发现，一些学生对几何证明的认识存在着偏差；同时由于几何证明过程的严谨性，几何证明就像写逻辑性很强的说明文，先写什么，后写什么，每一步中该怎么写才是合理而又简洁的，都很有讲究，因此几何证明成了几何学习的一个难点。针对在课堂上如何培养学生的几何证明能力，本文结合两个教案案例，来谈谈一些看法。

案例1：走好“用眼看、动脑想、大胆猜、严格证”四步。

师：请同学们观察这个等腰梯形，它有哪些特征？

（学生小组讨论。）

生1：两腰相等。

生2：是一个轴对称图形。

生3：底角相等。

（对于生2，教师拿出等腰梯形的纸片进行演示，让他说明对称轴的位置；对于生3，纠正应该是同一底边的两个底角相等。）

师：如何验证同一底边上的两个底角相等呢？

生4：在将等腰梯形对折时，发现了两个底角是相等的。

生5：通过测量可以得到。

师：你们都说得非常好，测量或操作是我们发现一些命题常用的方法，但并不能作为证明命题成立的方法。请同学们继续思考，如何证明出这个结论呢？

（一段时间后，学生举手回答。）

生6：过上底的两个顶点分别作下底的高，然后通过三角形全等进行证明。

生7：过上底的一个顶点作一腰的平行线，可以运用平行四边形和等腰三角形的知识来证明。

师：刚才两个同学给了我们一些有益的启发，你能根据他们的叙述，完整地将证明过程写下来吗？你还有其他的方法吗？这些证明方法都有什么共同点？请同学们拿出练习本写下你们的证明过程。

（学生书写证明过程，教师巡视。）

在整个教学过程中，教师不仅传授了知识，还在数学课堂活动中展示了“直觉发现、推理证明”的过程。直觉发现是培养学生发现命题的重要方式，针对八年级学生的心理特点，这个过程是非常重要且必要的。教师不仅让学生口述证明的过程，还让学生动笔写下证明过程，这样做能让学生在理解的基础上梳理思路、准确表达，突破几何证明在书写上的难点。

案例2：避免“零起点”教学，高效培养学生的证明能力。

师：（展示多媒体课件提出问题）

问题1：怎样的四边形是平行四边形？

问题2：平行四边形有哪些性质？

问题3：如何判断一个四边形是平行四边形？有几种判定方法？

生：口答（略）

师：李芳同学用“①边、直角；②直角、边；③边、直角；④直角、边”这样四步画出了一个四边形，她说这个四边形是矩形，对吗？李芳同学画得四边形不是矩形，大家想不想知道呢？好，只要我们认真学习了今天的内容，一定会找到答案的。

（引出课题――“矩形的判定”。）

师：矩形的边相对于平行四边形有特殊性质吗？

生：没有。

师：那我们从角的角度来探究“最少有几个直角的四边形是矩形”。

（教师指定一名学生板演，画出反例图形，然后教师点评。）

师：我们猜想，有三个角是直角的四边形是矩形。

（出示命题：有三个角是直角的四边形是矩形。）

师：如何证明一个文字命题呢？

教师叙述几何证明的一般过程：1.根据题意，画出图形；2.分清命题的题设和结论，结合图形，写出已知和求证；3.写出证明过程（有时需要写证明依据）；4.归纳结论。

学生说出已知和求证，并尝试证明。

师：通过证明发现我们的猜想是正确的，李芳的画法也是正确的，所以我们把“有三个角是直角的四边形是矩形”作为矩形的判定定理1。

本案例是“矩形的判定”的第一课时。在前期，学生已经具有了平行四边形的研究经验，但本案例的教学忽视了学生的这些经验，让学生对矩形判定的学习回到“零起点”。

结合学生已有的经验，课前提问可以改为“问题一：矩形与平行四边形的关系是什么？问题二：平行四边形的‘判定’与‘性质’有什么关系？问题三：我们如何研究平行四边形的判定的？问题四：矩形有哪些性质？”这些问题可以对学生学习矩形判定的逻辑结构起到指导性作用。

同样，在猜想矩形判定的方法有哪些时，也可以类比研究平行四边形的判定，提出问题“你能提出矩形判定的猜想吗？你能证明自己的猜想吗？”

在课堂中教师要搭建研究框架，引导思维方向，增强学生思维的逻辑性、条理性，这样有利于提高课堂效率。平面几何教学应引导学生类比，类比猜想是一种重要的发现定理的方法，让学生体会性质与判定之间的内在联系，这种做法对提高学生的证明能力是大有益处的。