数学归纳法证题中的常见错误剖析

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数学归纳法看起来较简单，但中学生在实际应用中常常出错，主要原因在于学生对于数学归纳法的本质理解不够充分，仅停留在浅尝辄止的状态，对于证明步骤仅是形而上学，缺乏理论根据。命题的结果形式在保证两步证全的前提下，本文根据对证题中的常见错误本文归纳为五种情形，并逐一予以剖析。文中N为正整数集。

常见错误之一：初始值代入出错。

例如：用数学归纳法证明， n边形对角线的条数为■ （n≥3，且n∈N）

证明:（1）当n=1时，一边形不存在，对角线就不能确定为多少条。此时，将n=1代入对角线的条数表达式中有，对角线的条数为■=-1，至此，数学归纳法的第一步无法完成。

（2）假设当n=k时，命题成立 。如图，即k边形 A1A2A3…Ak的对角线的条数是■。

于是当n=k+1时，多边形为（k+10）边形A1A2A3…Ak+1，比k边形多一个顶点Ak+1，图中画出了增加的对角线，分析知，增加的对角线的条数是点Ak+1与点A2 A3…Ak-1 的连线（有k-2条连线）和点A1与点Ak的连线。共增加了[（k-2）+1]条。

（k+1）边形A1A2A3…Ak+1的对角线总条数为■+[（k-2）+1]=■=■。故当n=k+1时，命题成立。

根据数学归纳法原理知命题成立。

以上例题证明的第一步是初始值代入出错应取n=3时进行验证:显然当n=3时，三角形没有对角线，将n=3代入对角线的条数表达式中有■=0，命题成立。再结合证明的第二步，就是此例的完美的数学归纳法的证明。

上述例题说明，利用数学归纳法证题的第一步n0（初始值）取值未必都是1，即它的取值应是结论有意义的最小正整数。因此，证题前要认真审题，确定是n∈N还是 n≥n0（n∈N）。

常见错误之二，不符合数学归纳法证题的原则。

例如，用数学归纳法证明：

3+7+11+……+（4n-1）=n（2n+1） （n∈N）

证明：

（1）当n=1时，左边=3，右边=3，所以当n=1时命题成立.

（2）假设当n=k时命题成立，即

3+7+……+（4k-1）=k（2k+1）

当n=k+1时， 3+7+……+（4k-1）+（4k+3）=■（k+1）（4k+3+3）=（k+1）（2k+3）=（k+1）[2（k+1）+1]

所以当n=k+1时命题成立。

根据（1）、（2）可知，等式对一切n∈N成立。

上述利用数学归纳法证题的第二步没有用到归纳假设，其推理过程不是在归纳假设的基础上实现的，第二步的正确证明方法是：

假设n=k时命题成立，即

3+7+……+（4k-1） = k（2k+1）。

则当n=k+1时，3+7+……+（4k-1）+ （4k+3）=k（2k+1）+4k+3=2k2+5k+3=（k+1）（2k+3）=（k+1）[2（k+1）+1]

即当n=k+1时命题也成立。

这里指出：用数学归纳法证题的两个步骤缺一不可，尽管有的与正整数有关的命题用其他方法也可以觖决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行证明，特别是在第二步证明中对归纳假设“设而不用”，那就不正确。

不符合用数学归纳法证题的原则要求，因而证明不算数学归纳法。

常见错误之三：没有严格的逻辑推证。

例如，用数学归纳法证明：

■+■+……+■=■（n∈N）

证明：（1）当n=1时，左端■=■=右端，等式成立。

（2）假设n=K时，原等式成立，即：■+■+……+■=■，于是当n=k+1时，有■+■+……+■=■，故n=k+1时，原等式成立。

根据数学归纳法原理知等式对一切n∈N均成立。

上述证明从表面上看与数学归纳法相符合。而数学归纳法原理的第2步是保证一系列命题——“传递性”成立的关键，必须给予严格的证明。但此例证明过程中的第2步形式套用数学归纳法原理的第2步，没有给予严格的逻辑推证，因此不符合数学归纳法原理的要求。

常见错误之四：错误理解归纳假设。

例如，已知n个正数a1、a2，……，an且a1·a2，……，an =1，试证：a1+a2+……+an≥n。

证明：（1）n=1时，显然有a1≥1。

（2）假设n=k时，命题成立，则n=k+1时， a1·a2……ak ak+1=1， a1，a2……ak+1中必有一个不小于1，不妨设ak+1≥1，于是 a1+a2+……+ak+ak+1=a1+a2+……+ak+1，由归纳假设 a1+a2+……+ak≥k， a1+a2+……+ak+ak+1≥k+1，故当n= k+1时，命题成立。

根据数学归纳法原理知，对一切n∈N原命题成立。

上述证明过程表面上看起来没有什么问题，但是第2步的证明过程中所用归纳假设的结论a1+a2+……+an≥k是有条件的，必须 a1·a2……ak=1，而 a1·a2……ak ak+1=1及ak+1≥1并不能保证a1·a2……ak=1，从而未必有结果a1+a2+……+an≥k成立，而此题的第2步在推理过程中正应用了这个不可靠的结果，因而证明错误。

常见错误之五：由n= k表达n= k+1时表达式之间关系出错。

例如，用数学归纳法证明：

■+■+■+……+■＞■（n≥2）

在数学归纳法的第2步的证明中，若设f（n）=■+■+■+……+■，则f（k+1） =■+■+■+……+■= f（k）+■，从而正确地证明结论。产生以上错误的原因是未能把握f（n）右式中各项间规律，右式是一个数列若干项的和，每项的分子均为1，分母是以2为首项，1为公差的等差数列。

f（k+1） = f（k）+■+■+……+■

共增加了2k项，从而用放缩法易证第2步成立。对这类错误，须认真分析命题中各项关系，把握其规律，问题就会迎刃而解。