循环小数化分数的方法探究及应用

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摘 要：在小数分数的互化中，我们知道分数化小数直接用分数的分子去除分母便可。而小数化分数时分为两大类，有限小数化分数、无限小数化分数，前者可以直接分子分母（看作单位“1”）扩大相同的倍数；后者却很难用直接的方法化成分数。本文就循环小数如何化分数进行分析探讨。

关键词：分数；有理数；无理数；循环小数

中图分类号：G620 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2011）01-0169-01

无限小数包括两大类：（一）无限不循环小数；（二）无限循环小数．这是两类大不相同的数，因为前者是无理数，后者是有理数．后者为什么是有理数呢？因为所有的循环小数都可以化为分数，而分数是有理数．

一、循环小数如何成分数

【案例1】：把下面小数化成分数

0. 6. 0. 0.2

凭经验我们知道0.可以化为，6.可以化为6，可0.,0.2呢？

下面我们就谈谈循环小数如何成分数：

【案例2】：求0.7，0.77，0.777，0.7777，……的通向公式？

我们知道上式的通向公式为：(1-)（n∈N*）(1)

当n无限增大时=0 （1）式可化为：

案例2的最后一个数可看为0.

0.=

同理可证得0.=，0.2=。

综上所述，n位纯循环小数（X）化分数可表示为： X=(n∈N+且n≥1，x表示X的循环节小数部分，9…9表示按一个循环节的位数写几个9）

二、循环小数化分数的应用

【案例3】：把下列小数化成分数：

5.，3.，0.4，7.2

解：5.=5+0.=5

3.=3+0.=3

0.4=0.4+0.1×0.=+×=

7.2=7+0.2+0.0=

如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数。混循环小数化为分数的方法是：把小数分解为整数部分、不循环小数部分、循环小数部分，然后运用上述方法。

【案例4】：在计算一个正数乘以3.5的运算时，某同学误将错3.5写作3.57，结果与正确答案相差1.4．则正确的乘积结果是______．

解：设这个正数为x，依题意得

3.5x-3.57=1.4

因为3.5=3+=3

所以上述方程可化为3x-3x=1.4

解得x=180．

所以正确的乘积结果应为

3.5×180=×180=644

在解题过程中，为了便于运算，有时需要将小数化为分数，在循环小数化分数时可运用此类方法。

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