不等式恒成立问题的考察类型
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编者按：在近些年的数学高考题和高考模拟题中，经常会出现不等式恒成立问题.该类题目综合性强，可考查函数、不等式及导数等诸多方面的知识，同时考查化归与转化、数形结合等思想，学生碰到此类问题往往感觉难以下手.其实，掌握了解答的技巧和方法，这类问题也没什么难的.
不等式恒成立问题是近几年高考数学试题中的热点之一，这类问题往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立；二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题涉及多种数学思想方法，其中的关键是化归与转化思想，通过等价转化可以使问题得到有效解决.
一、利用构造函数法解答的问题类型
在解决不等式恒成立问题时，一种常用的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图像和性质解决问题，同时注意在一个含有多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题清晰明了.一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.
小结 对于这类问题，学生易将其看成关于x的不等式进行讨论，从而因计算繁琐出错或者解答的中途夭折.若转换一下思路，将待求的x作为参数，将m作为变量，令 f（m）=（x2-1）m-（2x-1），则问题转化为求一次函数（或常数函数）f（m）的值在[-2，2]内恒为负的问题，再来求解参数x应满足的条件，这样问题就轻而易举地得到解决了.
二、利用分离参数法解答的问题类型
在不等式恒成立问题求参数的取值范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其他变量完全分离出来，并且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，我们常用分离参数法解答.
例2 已知当x∈R时，不等式a+cos 2x
难度系数 0.61
分析 在不等式中含有两个变量a及x，本题必须由x的范围（x∈R）来求另一个变量a的范围，故可考虑将a与x进行分离并构造函数，利用函数定义域上的最值求a的取值范围.
解法一 原不等式等价于4sin x+cos 2x
当x∈R时，不等式a+cos 2x< 5-4sin x恒成立等价于-a+5>（4sin x+cos 2x）max.
设 f（x）= 4sin x+cos 2x，则 f（x）= 4sin x+cos 2x= -2sin2x+4sin x+1=-2（sin x-1）2+3≤3.-a+5>3.a
分析 题目中出现sin x及cos 2x，而cos 2x=1-2sin2x，故若采用换元法将sin x换元成t，则可将原不等式转化为关于t的二次不等式，从而利用二次函数区间上的最值求解.
解法二 不等式a+cos 2x
不等式a+cos 2x0，t∈[-1，1]恒成立.
设f（t）=2t2-4t+4-a，显然f（t）在[-1，1]上单调递减.于是可知fmin（t）= f（1）=2-a.2-a >0，即a
小结 此类问题可将需求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将原问题转化成新函数的最值问题：若对于x的取值范围内的任意一个数都有 f（x） ≥g（a）恒成立，则g（a）≤fmin（x）；若对于x的取值范围内的任意一个数都有 f（x） ≤g（a）恒成立，则g（a）≥fmax（x）.
三、利用最值法解答的问题类型
当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，我们可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解.
小结 若对任意的x∈D，使得f（x）≥g（x）成立？圳对任意的x∈D，f（x）-g（x）≥0恒成立；若对任意的x1，x2∈D，使得f（x1）≥g（x2）成立？圳 f（x）的最小值大于等于g（x）的最大值.
四、利用变“辅元”为“主元”解答的问题类型
在解答不等式恒成立问题时，灵活处理“主元”与“辅元”的关系，并且进行恰当的转换，在求变量的取值范围时有利于问题的解决.
例4 对于满足|a|≤2的所有实数a，求使不等式x2+ax+1>2x+a恒成立的x的取值范围.
难度系数 0.60
解 原不等式转化为（x-1）a+x2-2x+1>0在 |a|≤2时恒成立.
设f（a）=（x-1）a+x2-2x+1，则f（a）在[-2，2]上恒大于0，于是可以得到f（-2）>0，f（2）>0，即x2-4x+3>0，x2-1>0，解得x>3或x1或x
故x的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）.
小结 在不等式中出现两个字母x与a，我们习惯上将x看成一个变量，a作为常数.解答本题可以转换视角，可将a视作自变量，则上述问题可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0的恒成立问题.此类问题本质上是利用一次函数在闭区间上的图像是一条线段来解答，故只需保证该线段的两个端点均在x轴的上方（或下方）即可.
五、综合运用
解决含有多个参数的不等式恒成立问题，我们可以考虑综合运用分离参数法、最值法及数形结合法等多种方法来解答.
例5 已知函数f（x）=ln（x+1）.
由g′（x）> 0，解得-1< x< 0或x >1，g（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减.于是有gmax（x）=g（0）=0.m2-2bm-3≥0，即2mb+3-m2≤0.可知h（b）=2mb+3-m2是关于b的一次函数.
当b∈[-1，1]时，h（b）的最小值大于g（x）的最大值，h（b）的图像为一条线段，此线段的两个端点都在b轴的下方.h（-1）≤0，h（1）≤0，即-2m+3-m2≤0，2m+3-m2≤0，解得m≤-3或m≥3.
小结 对于含有多个参数的不等式恒成立问题，我们要注意处理好参数的主次关系.只有这样，我们才能做到简捷、有效地解决问题.
黄昆耀，湖南省特级教师，湖南省优秀教师，湖南省二等功获得者，并且两次立市级三等功。已任教高中毕业班，发表文章42篇，出版数学专著8部，主编校本教材1部。
（责任编校？筑周峰）