巧化归 妙解题

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化归是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式.数学问题的解决过程就是一系列化归的过程，中学数学处处都体现出化归的思想，在数学问题的解决过程中，常用的很多数学方法实质就是化归的思想.化归思想是指在解决问题的过程中，有意识地对所研究的问题从一种对象在一定条件下转化为另一对象的思维方式.通常有从未知――已知，复杂――简单，抽象――具体，一般――特殊，综合――单一，高维――低维，多元――一元，困难――容易，以及数学表现形式之间的转化，将实际问题转化为数学问题等.说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系、相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决.体现上述化归思想的有换元法、消元法、配方法、降次法、待定系数法、几何三大变换法、几何问题代数化法、代数问题函数化法、数形结合法等等.

例如，当x=1，y=-1时，求2x2y-3xy2+4x2y-5xy2的值.该题可以采用直接代入法，但是更简易的方法是先化简再求值，此时原式=6x2y-8xy2=6×1×（-1）-8×1×1=-14.这就是由复杂――简单的化归.

又如，解一元二次方程x2-3x+2=0，我们可以将左边分解因式，应用降次化为两个一元一次方程求解，这就是由高维――低维的化归；也可以将方程配方成为一个整式的平方等于一个常数的形式，应用平方根的性质求解，这就是由未知――已知的化归.

再如，如图1，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，求PE+PB的最小值.

图1 图2

如图2，连接DE，交BD于点P，连接BD.因为点B与点D关于AC对称，所以DE的长即为PE+PB的最小值.从而将求PE+PB的最小值变为求DE的长.这是应用轴对称的性质的从困难――容易的化归.

化归的基本思想是：将待解决的问题A，在一定条件下转化为问题B，再把问题B转化为已经解决或较易解决的问题C，而通过对C的解决，达到原问题的解决，可用框图表示如下：

化归应遵循的原则：（1）化归目标的简单化原则，即化归的方面是由复杂到简单，对复杂问题总是采用分解或变更的方法，使目标简单化；（2）化归目标的熟悉化原则，即化归的方向是由不熟悉到熟悉，把要解决的（不熟悉）问题转化为自己熟悉会解的问题，使所要解决的问题熟悉化；（3）化归的具体化原则，即化归的方向一般是由抽象到具体，在分析问题时，尽力将问题具体化；（4）化归的和谐化原则，即化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表现出的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；（5）化归的正难则反原则，即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.

下面结合各地中考的实例探讨化归思想的应用.

一、代数问题之间的化归

例1 （湖北襄阳中考）[HT]如果关于x的一元二次方程kx2-[KF（]2k+1[KF）]x=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）

A.k