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摘要 :每年全国各地高考数学试题中都少不了数列解答题,其中多数采用递推公式求数列通顶,本人根据多年教学经验并参考了多本参考书,总结出用递推公式求数列通项的常用方法,供大家一起探讨。
关键词 :递推公式;数列通项;规律;方法
纵观近几年全国各地高考数学试题,在每套题目中几乎都少不了数列解答题,而其中多数采用递推公式和初始条件求数列通项或讨论数列性质。这类问题求解方法是高中数学重要内容,也是每年高考的热点。
在高一教材中明确给出了递推公式的概念:如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式。由相邻两项的关系给出的递推公式称一阶递推公式,由相邻三项的关系给出递推公式称为二阶递推公式。
一、累加法
形如an+1=an+f(n)型,可用累加法,解题思路:将an=an-1+f(n-1), an-1=an-2+f(n-2),…a2=a1+f(1),各式相加正负相消,即得an。
例(2007年高考数学北京理科卷第15题)
数列{an}中,a1=2 ,an+1 =an+cn(c是常数, n=1,2,3……),且 a1,a2,a3成公比不为1的等比数列.
(I)求c的值;
(II)求{an}的通项公式.
解:(I)a1=2 ,a2=2+c ,a3=2+3c ,
因为 a1,a2,a3成等比数列,
所以(2+c)2=2(2+3c) ,
解得c=0 或c=2 .
当c=0 时,a1=a2=a3 ,不符合题意舍去,故c=2 .
(II)当 n≥2时,由于
a2-a1=c a3-a2=2c ,
an-an-1=(n-1)c
所以 an-a1=[1+2+……+(n-1)]c= n(n-1) 2 c.
又 a1=2, c=2,故an=2+n(n-1) =n2-n+2(n=2,3,……).
当n=1时,上式也成立,
所以 an=n2-n+2(n=1,2,……).
二、累乘法
形如an+1=an f(n)型,可用累乘法。解题思路:将 an an-1 =f(n-1), an-1 an-2 =f(n-2),…, a2 a1 =f(1),各式相乖得, an an-1 an-1 an-2 … a2 a1 = f(n-1) f(n-2)…f(1).即可得an..
例,在数列{an}中,a1=1, an an-1 = n n+1 ,求通项an.
解:由条件 an an-1 = n n+1 , 得, an an-1 an-1 an-2 … a2 a1 = n-1 n-2 n-2 n-3 … 1 2 = 1 n .
得an.= 1 n .
三、转化法
1、形如an+1=q.an.+d(q、d为常数,q≠0,d≠1)型,可通过待定系数法转变为等比数列。
设an+1+x=q(an+x), 即an+1=qan+qx-x,比较可得x= d q-1 ,an+1+ d q-1 =q(an+ d q-1 ),故{an+1+ d q-1 }是以a1+ d q-1 为首项,以q为公比的等比数列。
例(2007年高考数学全国理科卷I第22题)
已知数列 {an}中a1=2 ,an+1=( 2 -1)(an+2) ,n=1,2,3…… .
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}中 b1=2 ,bn+1= 3bn+4 2bn+3 ,n=1,2,3……
证明: 2 <bn≤a4n-3,n=1,2,3…… .
解:(Ⅰ)设an+1+x=( 2 -1)(an+x)(an+x)
an+1=( 2 -1).an+( 2 -1)x-x
通过比较可得
( 2 -1)x-x=2( 2 -1)
x= 2( 2 -1) 2 -2
x=- 2
即 an+1- 2 =( 2 -1)(an- 2 ).
所以,数列 {an- 2 }是首项为2- 2 ,公比为 2 -1的等比数列,
an- 2 = 2 ( 2 -1)n,
即an的通项公式为an= 2 [( 2 -1)n+1], ,n=1,2,3…… .
2、形如an+1=can+g(n)型,可用变换为an+1+f(n+1)= c[an+f(n)]
如an+1=2an+n可设an+1+k(n+1)+b=2[an+kn+b]通过化简、比较、求系数的步骤得k=1、b=2,即{ an+n+2}是以a1+3为首项,以2为公比的等比数列。
如an+1=2an+n2可设an+1+[a(n+1)2+b(n+1)+c]=2(an+an2+bn+c)通过比较也可得出a、b、c的值。
不过用待定系数法解这类问题要注意两点:(1)使递推式等号两边的形式一致,保证能进行顺次迭代(2)待定系数要存在。
例(2007年高考数学天津文科卷第20题)
在数列{an}中,a1=2, an+1=4an-3n+1, n∈N*.
(Ⅰ)证明数列{an-n}是等比数列;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn ;
(Ⅲ)证明不等式 Sn +1≤4Sn ,对任意n∈N*皆成立.
(Ⅰ)证明:由题设an+1=4an-3n+1 ,得
an+1-(n+1)=4(an-n), n∈N*.
又a1-1=1 ,所以数列{an-n}是首项为1,且公比为4的等比数列.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知an-n=4n-1,于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n
.
所以数列{an}的前n项和Sn= 4n-1 3 + n(n+1) 2 .
3、形如an+1=qan+dn(an>0,c>0,q>0,q≠1)可变换成 an+1 dn+1= q d an dn + 1 d 令bn= an dn ,则转化为一阶线性递推估式
例(2006年高考数学全国理科卷第22题)
22)设数列{an}的前n项和
Sn,= 4 3 an- 1 3 ×2n+1+ 2 3 ,n=1,2,3,…
(I)求首项a1与通项an;
(II)设Tn= 2n Sn , n=1,2,3,…,证明: Σ n i=l =Ti< 3 2
解:(I)设a1=s1和题设可得a1=2
其次由an=sn-sn-1(n≥2)和题设得
an= 4 3 (an-an-1)- 1 3 •2n
即an=4an-1+2n
所以 an 4n = an-1 4n-1 +( 1 2 )n
得an=4n-2n,n=1,2,3…
4、形如an+1= can an+d (c、d为非零常数)取倒数得 1 an+1 = d c • 1 an + 1 c
例:(2006年高考理科数学江西卷第22题)
已知数列{an}满足:a1= 3 2 ,且an= 3nan-1 2an-1+n-1 (n≥2,n∈N*)
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 证明:对于一切正整数n,不等式a1•a2•……an 2•n!
解;(1)将条件变为:
1- n an = 1 3 (1- n-1 an-1 )
因此,{1- n an }为一个等比数列,其首项为1- 1 a1 = 1 3 ,公比为 1 3 ,
从而1- n an = 1 3n ,
据此得an= n3n 3n-1 (n≥1)
5、形如an+1=canp(a>0,c>0,p>0,p≠1)可采用对数变换为
lg an+1=plgan+lgc
例(2006年高考数学山东理科卷第22题)
已知 a1=2,点(an,an+1) 在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中 n=1,2,3,…
(1)证明数列{lgan}是等比数列;
(2)设 Tn=(1+a1)(1+a2)……(1+an),求Tn及数列{an}的通项;
(3)记bn = 1 an + 1 an+2 ,求数列{bn}的前n项 Sn,并证明Sn+ 2 3Tn-1 =1
解:(Ⅰ)由已知an+1=an2+2an ,
an+1+1=(an+1)1
a1=2 an+1>1,两边取对数得
lg(1+an+1)=2lg(1+an)
即 lg(1+an+1) lg(1+an) =2
{lg(1+an)}是公比为2的等比数列
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 lg(1+an)=2n-1• lg(1+a1)=2n-1•lg3=lg32n-1
1+an=32n-1 (*)
Tn=(1+a1)(1+a2)……(1+an)
=320•321•……•32n-1
= 31+2+22+……+2n-1=32n-1
由(*)式得 an=32n-1-1
四、特征方程法:
若数列满足二阶线性递推关系an+1=pan+qan-1(其中p、q为常数)其特征方程为x2=px+q
1)若方程有两相异根A、B,则an=c1An+c2Bn
2)若方程有两等根A=B,则an=(c1+n c2)An
其中c1、c2可由初始条件确定。
例:(江西师大附中2007届高三第二次联考第22题)
已知数列{an}满足a1=5、a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2)
(I) 求数列{an}的通项公式。
解:(I)此数列对应的特征方程为x2=x+6,即x2-x-6=0,解得x1=3,x2=-2,设此数列的通项公式为an= c13n+ c2 (-2)n,由题意得
a1=5= c13+ (-2)
a2=5= c132+ c2 (-2)2
解得 c1=1,
c2=-1
故an=3n- (-2)n