数学基本思想的内涵、特征及其教学意蕴
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《数学》“2011年版课标”在课程总目标中明确提出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”这样，“数学基本思想”成为了数学课程总目标的“四基”之一。
数学基本思想的内涵
数学课程标准修订组组长、东北师范大学史宁中教授认为，数学基本思想主要有三个：一个是抽象，一个是推理，还有一个是模型。
抽象。抽象是数学活动中最基本的思维方法，也是数学化活动的一般思想方法。指人们在对客观事物的属性和特点进行分析、比较和综合的基础上，舍弃非本质的属性，而抽取其本质属性的思维过程，是人们用来接近事物本质和形成概念的思维方法。就小学阶段而言，抽象方法主要体现在数学概念、原理的形成过程以及解决实际问题的过程中。对数学抽象方法的初步体会，不仅有助于培养学生的数学意识、数学眼光，而且有助于逐步提高他们的抽象水平以及分析和解决问题的能力。比如，学生认识分数时，就必须经历一个逐步抽象的过程。从分蛋糕、分苹果入手，学生在“均分”的活动中明白，过去经验中最小的“1”还是可以继续分下去的，只不过分得的结果就要用新的数来表示了。进而组织学生通过折纸、填图等操作性活动，进一步明白线段、长方形、圆等都是可以像分苹果那样均分下去的。在此基础上，我们还须继续引导学生实现更高层次的抽象，即帮助学生挣脱对具体事物的束缚，理解作为均分对象的单位“1”具有更为一般化的意义，这样，分数的概念才算是真正建立起来了。不难看出，越往高层次抽象，生活味会越淡，数学味越浓。当学生真正理解单位“1”时，几乎就没有生活味儿了。因为这世界根本就没有单位“1”，有的只是2个瓶子、1个班的学生等具体的事物。这里的单位“1”已不再依赖于某一特定的物体而存在了，而是具有了无量纲性，能够把事物许多原本不可比的状态变成可比的状态（如一群牛的■与一个足球场的■意义是不同的，但在讨论分数时又是等价的）。所以有专家说：“数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象的。”
推理。推理是从一个命题判断到另一个命题判断之间的思维过程。如果是从一系列具体事实概括出一般原理的过程，那就称为归纳推理；如果是从普遍性结论或一般性前提出发，推出个别或特殊结论的过程，那就称之为演绎推理。例如，有8个男生在跳绳，7个女生在跳绳，还有12个女生在踢毽子，求跳绳和踢毽子共有多少人？我们既可以先求跳绳的人数，列出算式(8+7)+12计算，也可以先求女生的人数，列出算式8+(7+12)计算。这两道算式的算理是等价的，得数也相同，因此可以写成等式(8+7)+12=8+(7+12)。这种数学现象是不是具有普遍性的规律呢？这就需要在类似的情况中验证。于是，学生会举出更多的实例，如(45+25)+13和45+(25+13)，(36+18)+22和36+(18+22)。看看每组的两道算式是不是分别相等，两道算式中间能不能填上等号，再看看这些相等的算式有什么结构上的特点，进而在实验中概括出加法结合律，并用字母写成(a+b)+c=a+(b+c)。这样，学生就经历了由具体到一般的抽象、概括过程，不仅可以发现数学规律，而且能够初步感受归纳的思想方法，使思维水平得到提升。反之，当学生学习了(a+b)+c=a+(b+c)以后，要求学生应用加法结合律进行27+48+52的简便计算时，学生根据已经获得的定义、定律、公式等，去解决一个个具体的问题，这便是一个演绎的过程，使得抽象的数学概念、规律和原理具体化，从而促进数学知识的理解和掌握，发展推理能力和思维能力。
模型。模型思想是指用数学模型方法处理和解决实际问题的一种思想。数学模型是沟通数学与现实世界的桥梁。就小学阶段而言，主要有两种模型，一个是：“部分量+部分量=总量”，还有一个是：“每份数×份数=总数”。我们平时所提到的单价、数量、总价，速度、路程、时间，以及工作效率、工作时间、工作总量等，本质上都属于第二种模型。比如：“西安的大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米？”学生列方程解决问题的关键是：通过适当的分析，找出大雁塔与小雁塔之间的相等关系，这样就可以把题目中已知量与未知量放在同等的地位，能使思考过程变得更加顺畅和灵活。事实上，该题中所列的方程以及这类方程更为一般的形式“ax±b=c”，正是解决一类实际问题的有效的数学模型。这个模型中的未知数或者未知量，通常就是所求实际问题的数值解，而方程的检验乃至对不同方程列法的进一步探索，可以理解为是对模型适切性的确定和完善。模型化的数学思想是20世纪下半叶随着计算机技术的发展和进步而逐步发展起来的，是现代应用数学赖以解决实际问题的基本思想。
数学思想蕴含于数学知识和内容之中，又高于具体知识和内容的一种理性认识。它是联系数学知识的纽带，也是整个数学知识系统的生命和灵魂。它具有下面的一些特征。一是内隐性。数学思想是一种隐性知识，常常通过相应的数学概念和原理加以反映，起决定整个数学学习方向的作用。这不是靠教师讲出来的，而是由学生自己在形式多样的数学活动中悟出来的。二是概括性。数学思想是数学知识的“质”与“核”，它除了是具体数学成果的本质体现之外，更是这些成果背后深层次共性的概括。三是层次性。人们常采用“数学思想方法”这一说法，表明了思想与方法间的紧密关联性。解题术解题通法数学思想数学观念，这一递进关系，说明数学思想具有清晰的层次性。数学观念是数学思想的最高境界，是一种认识客观世界的哲学思想。虽然从形式上看，数学观念几乎无迹可寻，但它却在不知不觉中支配着一个个体的数学活动。我们通常说的“用数学的眼光看待周围世界”“用数学方法处理周围事物”，事实上正是着眼于数学观念而言的。
由这些特征所决定，教学时我们应采用与之相匹配的策略进行渗透，循序渐进。学生发展数学基本思想不可能一蹴而就，更不是通过一两道题练习就能培养起来的。因此，学生理解和形成数学基本思想需要一个过程，并在这个过程中，逐步丰富认识、积累经验、加深感悟。当教学呈现相应的数学内容与思想方法时，应根据学生年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则。