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课本例题、习题的编排是教材编写者匠心独具的表现。在数学教学中,教师除了对教材知识进行系统的、逻辑化的讲授之外,还要安排学生完成教材设置的一系列针对性极强的数学习题,进行数学的“模拟实践”(即解数学习题),通过这样的活动来达到对数学知识的完全掌握。课本习题变式是高考命题教师组织试题的重要来源,命题教师往往依据各自的教学经验或数学活动,从课本习题上“变式”取材。作为教师应认真研究教材、大纲,透彻理解编者的意图,而不是对新知识简单的重复、模拟,更不是让学生“依葫芦画瓢”。
教材中的例题与课外习题是两个层次的数学问题系列:例题具有典型性、简单性、及时性、针对性等特点;课外习题,在这个基础上还体现数学知识的综合性、渗透性、迁移性、指导性,其解题难度超载了课本例题的能力要求。在高中阶段,总会有一部分的学生不适应高中的数学教学方法内容,造成成绩落差大。我们针对每节内容都出一份小练习,其中选择题4小题,填空题2小题,再配一题解答题,难度要求分梯度,只有在最后一题的一个小题安排一个较难的问题,这样的小练习的容量,学生10分钟左右就可以完成,教师再根据实际情况,用5~10分钟的时间进行讲评,因为难度不高,入手容易,这样大部分的学生都能做。而在每个章节的教学结束后,教师对教材中有意安排的一些具有典型性、综
合性、难度相对较大的习题进行教学研讨是完全必要的。
抓住教材中代表性习题,启发学生进行探索,对提高学生思维的广阔性与灵活性,培养学生发散思维大有益处。以新教材人教版第二册一道习题的变式为例,探讨变式训练。
例1.过抛物线y2=2px的焦点的直线与抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1、y2,求证:y1y2=-p2(如图1)。
这道题有两点值得注意:一是抛物线的焦点为定点,二是y1y2=-p2为定值。
由此可向以下几个方向展开联想,进行探索:
一、探索抛物线的几何性质
变式一:直线l与y2=2px相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)。若:y1y2=
-p2,那么该直线是否过抛物线的焦点?
解:两个交点在抛物线上,则y21=2px1,y22=2px2,
若x1=x2,则有y21=y22,y1=y2=p,x1=x2=。此时直线AB过焦点F。
若x1≠x2,则有y21=2px1,y22=2px2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),
即KAB=(y1-y2)/(x1-x2)=2p/(y1+y2),
KAF=y1/(x1-)=2py1/(y21-p2)=2py1/(y22+y1y)=2p/(y1+y2),
KAB=KAF,因此A、F、B三点共线,直线AB过焦点F。
可知:AB过焦点的充分必要条件是y1y2=-p2。
变式二:(例1的推广)将过焦点改为过定点M(a,0),问y1y2是否为定值?反之,若y1y2=k为定值,那么该直线是否过一定点?
解:设直线AB的方程为x=ky+a,代入y2=2px中消去x,整理得:y2-2pky-2pa=0,由韦达定理知:y1y2=-2pa(定值)。反之,答案也是肯定的。
二、探索抛物线有关点的轨迹
变式三:如图2,F为y2=2px的焦点,过F的直线与抛物线相交于两点A、B,过顶点O作OP垂直AB于P,探求点P的轨迹方程。
解:设P(x,y),F(,0)。
由OPPF,知・=0。
=(x,y),=(x-,y)
x(x-)+y2=0,化简得(x-)2+y2=p2/16
此即为点P的轨迹方程。
事实上,由于直线AB过定点F,OPPF,因此点P在始终在OP为直径的圆上。
变式四:与变式三相类似,将过焦点改成直线AB始终过定点M(a,0),此时P的轨迹是以OM为直径的圆。
三、探索抛物线的弦中点的轨迹
变式五:F为y2=2px的焦点,过F的直线与y2=2px相交于A、B,P为AB的中的,探求P的轨迹方程。
解:设中点P(x,y),A(x1,y1)、B(x2,y2),
则2x=(x1+x2),2y=(y1+y2),
则KAB=2p/(y1+y2)=p/y,
又KPF=y/(x-),
由KPF=KAB得y2=p(x-),
即为点P的轨迹方程。
变式六:A(x1,y1)、B(x2,y2)为y2=2px的两个动点,若y1y2=k(k为常数),P是AB中点,探求P的轨迹方程。
解:设中点P(x,y),则2x=(x1+x2),2y=(y1+y2),
由点A、B在抛物线上有y2=px+。此即为所求的轨迹方程。
从以上对课本习题的变式探索中,可以体会到课本习题中蕴含着丰富的数学价值。这一点为历年高考试卷分析所确证。认真探索课本习题的内涵与外蕴,提高学生发现问题、提出问题的能力,才是新课程习题练习的意义所在。
(作者单位 福建省南平市教师进修学院)