巧用数形结合解题
开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇巧用数形结合解题范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！
义务教育阶段数学《课标》的总体目标规定：“通过数学学习，使学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验），以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”数学思想方法主要有：符号思想方法，分类讨论思想方法，化归思想方法，数形结合思想方法，函数思想方法，方程思想方法，随机思想方法，等等。本文着重探讨数形结合思想。
数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映，同时也是数学的基石。数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”可见数形结合的重要。在中学数学教材中，从始至终都贯穿着数形结合的思想，因此，在数学教学中，数形结合的结果，更有利于学生理解数学知识，一旦学生形成了数形的思想方法，处理数学问题的能力就会更强。
1.图像法
数和形是同一事物的两个方面，数是形的高度抽象，形是数的具体体现，数和形可以互相转化。一般说来，依形想数，可使几何问题代数化；由数想形，可使代数问题几何化，这样数形结合相辅相成，既有利于培养解题思想，又有利于发展思维能力。
例1：二次函数 y=ax+bx+c （a≠0）的图像如图所示，下列结论：
①a＜0②b＞0③a+b+c＞0 ④＜0
其中正确的有（）
A.1个 B.2个C.3个 D.4个
分析：由图像及函数的性质知：抛物线开口向下得出a＜0 ，由对称轴x=-=1知b＞0；当x=1时，顶点的纵坐标y＞0 ，则a+b+c＞0.
由抛物线与横轴有两交点知：b-4ac＞0.故本题选C.
变式：根据图像判断点P（a+c，b）在第?摇?摇?摇?摇象限.
分析：由图像知，a＜0，c＜0， b＞0， a+c＜0. 因此，点P在第二象限.
2.面积法
例2：计算：+++++……+
这道题是等比数列题，要直接算有点难，但把它转化为下列图形，便一目了然：
就是把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，依此进行下去，便可得：
+++++……+＝1-
3.联想法
数形结合是初中数学中的一种重要的思想方法，有些代数问题看似无从下手，而一旦与图形联系起来考虑，常能得到非常新颖、巧妙的解法.
例3：已知a、b、c、x、y、z、m均为正数，且a+x=b+y=c+z=m，求证：ay+bz+cx＜m.
分析：观察求证的结论，使我们联想到矩形和正方形的面积公式，便可构造以m边长的正方形ABCD，如下图：
由图可得：
S=m，
S=ay+bz+cx
即：S＜S
ay+bz+cx＜m.
4.图表法
即把表格数值信息与图形给出的信息有机结合，从而使问题获解。
例4：把立方体的六个面涂上六种不同颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色与花的朵数情况列表如下：
现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体，如上图所示，那么长方体的下面共有?摇?摇?摇?摇朵花.
分析：本题应抓住立方体大小相同、颜色、花朵分布完全一样，推测出最右边一个立方体看不见的三个面的颜色.
解：观察图形可推知从右至左算：右边第一个立方体的左面是绿色，右面是红色，下面是白色，后面是紫色；第二个左黄右紫下绿后蓝；第三个左蓝右白下黄后绿；第四个左绿右红下紫后蓝.由此可知下底面由白、绿、黄、紫四色构成：4+6+2+5=17（朵）.
5.构造法
根据三角函数的几何意义及图像，促使我们利用图形解决某些三角函数问题.实际上，恰当构造几何图形，对于其他三角问题的解决是很有效的方法.
例5：求tan75°的值.
分析：由于75°角与15°角互余，又15°角的二倍角30°的三角函数值是特殊的.因此，可构造有15°角的直角三角形.
解：如图在RtABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到D，使BD=AB，则∠D=15°，∠DAC=75°.
设AC＝x，则BD＝AB＝2x，
BC＝x，
CD＝（2+）x ，
tan75°===2+.
像这样利用构造法求75°角的三角函数值，有助于掌握数形结合的数学方法，还有助于开发智力，培养数学思维的灵活性.
6.图示法
例6:已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使CA=3AB.（1）线段CB是线段AB的几倍？（2）线段AC是线段CB的几分之几？
分析：本题若不画图，不好得到数量关系，但只要把图画出，其数量关系就一目了然。由图可知：（1）2倍；（2）二分之三.
例7：如图1，一只小蚂蚁从立方体的顶点A沿表面爬到顶点B，聪明的小蚂蚁很快就到达了目的地.问：它共有几条路线可爬行？
分析：将立方体的表面展开成如图2的平面图形，画出对角线AB与不同棱相交于M，N，P，然后将它折回立方体，根据“两点之间线段最短”，可知折线A―M―B，A―N―B，A―P―B即是小蚂蚁爬行的三条最短路线.由“对称性”，还有一条如图3中A―Q―B的路线，所以共有4条.
数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且是一种重要的思维方法，它在中学数学中占有重要的地位.“数”和“形”是数学研究的两个侧面，它们互相渗透，相互转化，使得以代数法研究几何，以几何法研究代数成为可能.若能把“数”与“形”很好地结合起来，那么一些看似复杂的问题就会迎刃而解.
注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文