例谈有关全等三角形的探索题

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近几年的中考试卷里，出现了一些与全等三角形有关的探索题，现对此类试题略作分析，供同学们参考.

一、探索条件型

这类题目的特点是由给定的结论逆求需具备的条件.解答时，我们要注意变换思维角度.

例1已知：如图1，CD是RtABC斜边上的高，∠BAC的角平分线AE交CD于F，G是AB上一动点，试求当AG满足什么条件时，FG∥ BC.

分析：若FG∥ BC，则∠B =∠AGF.由∠ACB=∠BDC = 90O可得∠ACD +∠BCD＝∠B +∠BCD，所以∠ACD =∠B =∠AGF.又因为∠1 =∠2，AF = AF，故ACF≌AGF，于是AG = AC.故 当AG = AC时，FG∥BC.

二、探索结论型

这类题目一般是由给定的已知条件探求相应的结论，它突破了过去那种题设和结论都明确的封闭模式.同学们须具有较强的综合分析的能力和归纳推理的能力，才能轻松解决此类问题.

例2 如图2，BE和CF是ABC的高，在BE上截取BD = AC，在CF的延长线上截取CG = AB，探究AG与AD之间的关系，并证明.

分析：由题设知∠1 +∠BAE = 90O，∠2 +∠BAE = 90O，所以∠1=∠2. 又因为BD = AC，CG = AB，故ABD≌ACG. 则有AD = AG，∠3 =∠G.由∠4 +∠G=90O得∠3 +∠4 = 90O，即AGAD，所以AG与AD之间是垂直且相等的关系.

三、探索开放型

此类题目的条件和结论都不明确，答案多样，具有开放性，不仅检测了同学们对基本数学思想方法的掌握程度，还考查了同学们的创新意识.

例3如图3，D、E分别是AB、AC上的点，有下列三个论断：①AB = AC；②∠B =∠C； ③BD = CE.请以其中两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写一个正确的命题并说明理由.

分析：本题的答案较多，如选择①②可推出③.

如图3，AB = AC，∠B =∠C，求证 BD = CE.理由如下：由已知及隐含条件公共角∠A，可得BAE ≌CAD ，所以AD = AE，于是ABAD = ACAE，故BD = CE.

四、探索存在型

此类题目要求同学们准确把握问题的方向，再经过严密的逻辑推理，对“是否存在”作出正确的判断.一般的解题思路是：假设“存在”――演绎推理――得出结论（合理，则存在；矛盾，则不存在）.

例4 如图4，ABC中，∠C=90O， AC= BC，AD是∠CAB的角平分线，问能否在AB上找到一点E，使BDE的周长等于AB的长？请说明理由.

分析：过D作DE AB于E，只需证E点为所求即可.由∠1=∠2， ∠C =∠DEA = 90O，AD = AD，可得ACD≌AED. 则有AC = AE，DC = DE，于是DE + BD + BE = CD + BD + BE = BC + BE = AE + BE = AB.故能在AB上找到一点E，使BDE的周长等于AB的长.

五、探索变换型

这类题目的特点是图形不断进行演变，要求同学们能够探索变化前后的图形的结构特征，并合理地猜想，严谨地论证.

例5 已知：如图5，在ABC中，∠BAC=90O，AB = AC，AE是过A点的一条直线，BDAE于D，CE AE于E.

（1）求证：DE = BD + CE；

（2）若直线AE绕A点旋转到图6的位置时，其余条件不变，问DE与BD、CE的关系如何？请将图形画完整并给予证明.

分析：（1）在图5中，因为∠1 +∠2 =90 O，∠2 +∠3 = 90O，所以∠1=∠3.又∠BDA =∠AEC = 90O，AB = AC，故ADB≌CEA.则有BD = AE，CE = DA，故DE = DA + AE = CE + BD.

（2）在图6中，用与（1）类似的方法可得到DE = BDCE.有兴趣的同学可以证一证.

练习：

1.如图7，AD是∠BAC的角平分线，DE AB，DFAC，垂足分别是E、F， 连接EF. 探究EF与AD之间的关系，并证明你的结论.

2.如图8，在四边形ABCD中，AB = AD，AC平分∠BCD，AEBC于E，AF CD于F. 判断图中有无与ABE全等的三角形，并说明理由.

参考答案：

1. AD垂直平分EF； 2. ABE≌ADF.

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