数列不等式的通解通法

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江苏大丰高级中学224100

摘要：本文通过几个例题分析说明了数列中前n项和（或积）的不等式证明问题的常用的解决策略和处理手段.

关键词：数列；不等式；解决策略；处理手段

数列中前n项和（或积）的不等式证明问题是一个难点，根据问题的特征，一般解决的策略有：①通过构造、放缩等手段转化为等差数列或等比数列的求和问题，如例1、例4、例5；②通过放缩来拆项求和，如例1、例2；③构造函数考虑其单调性，如例2、例3、例5.

例1 已知Sn为数列an

的前n项和，且Sn=2an+n2－3n－2，n∈N+.

（Ⅰ）求证数列｛an－2n｝为等比数列；

（Ⅱ）数列｛cn｝中，cn=，其前n项和为Tn，求证：Tn

解析（Ⅰ）由题意得a1=S1=2a1+12－3×1－2，所以a1=4.

因为Sn=2an+n2－3n－2，Sn-1=2an-1+n2－5n+2（n≥2），

所以an=Sn－Sn-1=2an－2an-1+2n－4（n≥2）⇒an=2an-1－2n+4

⇒an－2n=2［an-1－2（n－1）］.

又a1－2=2，

所以｛an-2n｝构成等比数列，an－2n=2n，即an=2n+2n.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cn=.

解法1 通过放缩构造等比数列（可有选择地保留前几项）.

有cn=

Tn=++…+（n∈N+），

验证得T1=

n≥2时，Tn≤+++…+=+

解法2 通过放缩构造裂项效果（可有选择地保留前几项）.

有cn=≤（2n≥n2，n≥4），

T1=，T2=，T3=++=均小于.

n≥4，cn≤=－.

n≥4时，Tn≤+++++…+=+－=－

例2 数列｛an｝中，an=（n∈N+），数列｛an｝的前n项和记为Sn. 求证：Sn>（n∈N+）.

证明解法1 构造函数考虑其单调性.

欲证Sn>，即证Sn>・－.

构造数列｛g（n）｝，g（n）=Sn－・+（n∈N+），

则g（n-1）=Sn-1－+（n≥2）.

g（n）－g（n-1）=an+－=－>－=0.

所以｛g（n）｝为递增数列.

所以g（n）≥g（1）=S1－+=1+－>0.

故Sn>－.

解法2 放缩法构造裂项效果.

=> =（n≥1）.

Sn=>==（n∈N+）.

例3 数列｛an｝满足an=（n∈N+），记｛an｝的前n项积为Tn. 求证：Tn≥.

解析 构造函数f（n）=，即证f（n）≥1.

下证f（n）为递增数列.

=・=・.

欲证・>1

⇔>

⇔

1+3>1+

⇔1+3・+3・

2+

3>1+.

而3・+3・

2>

⇔>

⇔（9n+9）（19n+8）>19（3n+2）2

⇔15n>4.

15n>4显然成立，则≥1.

所以f（n）≥f（1）=1.

即Tn≥.

例4 数列｛xn｝满足xn+1=，x1=1.

（Ⅰ）试比较xn与2的大小关系；

（Ⅱ）设an=xn－2，求证：当n≥2时，a1+a2+…+an

解析 （Ⅰ）因为xn+1==+1，x1=1，所以n≥2时，xn≥1.

又因为xn+1－2=－2=，

所以=－

即xn－2与xn+1－2异号.

又x1－2=－1

（Ⅱ）n>1时，xn+1=+1>1，

an+1=xn+1－2=

－2=

==an .

所以=

则an

2an-2

n-1a1=

n-1.

所以n≥2时，a1+a2+…+an

n-1=21－

=2－21-n.

例5 数列｛an｝中，设an=（n∈N+），g（n）=ai，试证明：

解析（1）先证g（n）≤.

g（n）=++…+（共n+2项）.

g（n+1）=++…+++（共n+3项）.

g（n+1）－g（n）=+－

所以｛g（n）｝为递减数列.

所以g（n）≤g（1）=1++=.

（2）再证g（n）>.

g（n）=++…+（共n+2项）

>++…+==+>.

放缩过度，寻求他法.

g（n）=+++…+（共n+2项）.

g（n）=+++…+（共n+2项）.

所以2g（n）=+++…+.

因为x・y≤

2（x>0，y>0），

所以2g（n）>（n+2）=>.

所以g（n）>.

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