对“复式双曲线”型中考题探微
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对在同一直角坐标系中的两条不同的双曲线，我们定义为“复式双曲线”
.以“复式双曲线”为载体的试题，形式新颖，结构独特，融入丰富的数学知识和数学思想，着重对思维能力、探究能力的考查，现从近两年的中考试题中采撷几例，从不同角度入手，归纳出这类问题的解题策略，以飨读者.
一、根据k的几何意义求面积
1.求规则图形的面积
（1）求三角形的面积
例1 （2013年永州）如图1，两个反比例函数y= 4 x 和y=
2 x 在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PAx轴于点A，交C2于点B，则POB的面积为．
解析 ：根据反比例函数y＝
k x （k≠0）系数k的几何意义得到SPOA＝
1 2 ×4＝2，SBOA＝ 1 2 ×2＝1，由图象可知SPOB＝SPOA-SBOA＝2-1=1进行计算即可．
点评 ：本题考查了反比例函数y=
k x （k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=
k x （k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|.
（2）求矩形的面积
例2 （2012年兰州）如图2，点A 在双曲线y=
1 x 上，点B 在双曲线y=
3 x 上，且AB∥x 轴，点C 、D 在x 轴上，若四边形 ABDC 为矩形，则它的面积为（ ）
解析 ：过A点作AEy轴，垂足为E，
分别由点A在双曲线y= 1 x 上，点B在双曲线y＝
3 x 上，得四边形AEOD的面积为1，四边形BEOC的面积为3，
所以四边形ABCD的面积为3－1＝2．
故答案为：2．
点评 ：本题主要考查了反比例函数 y＝
k x 中k的几何意义，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
（3）求平行四边形的面积
例3 (2012年荆门) 如图4，点A是反比例函数y= 2 x（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=-
3 x的图象于点B，以AB为边作ABCD，其中C、D在x轴上，则SABCD为（ ）
(A) 2(B) 3 (C) 4(D) 5
解析 ：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．
把y=b代入y= 2 x 得，b= 2 x ，则x=
2 b ，即A的横坐标是 2 b .
同理可得：B的横坐标是：- 3 b .
则AB= 2 b -(- 3 b )= 5 b .
则SABCD= 5 b ×b=5．
故选(D)．
点评 :本题考察了反比例函数的面积不变性问题，巧妙的与平行四边形的面积结合在一起.在计算面积时要注意，面积等于|k|.
2．求不规则图形的面积
例4 （2011年安庆）如图5，两个反比例函数y＝ 6 x 和y＝
1 x 在第一象限内的图象是C1和C2，设点P在C1上，PCx轴于点C，交C2于点A，PDy轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）
(A) 5(B) 6(C) 7(D) 8
解析 ：连接OP，由反比例函数系数k的几何意义可求出OPC及OAC的面积分别为3和 1 2 ，进而可得出OPA的面积为3-
1 2 ＝
5 2 ，同理OPB的面积也为
5 2 ，所以四边形PAOB的面积为5，故选(A)．
点评 ：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即反比例函数y=k x （k≠0）图象上的点与坐标轴所围成的三角形的面积为
1 2 |k|.
3.利用面积求反比例函数系数k的值
例5 （2012年遵义）如图6，平行四边形ABCD的顶点为A、C在双曲线y1=-
k1 x上，B、D在双曲线y2=
k2 x 上，k1=2k2（k1＞0），AB∥y轴，SABCD=24，则k2= ．
解析 ： 利用平行四边形的性质设A（x，y1）、B（x、y2），根据反比例函数的图象关于原点对称可知C（-x，-y1）、D（-x、-y2）；然后由反比例函数图象上点的坐标特征，将点A、B的坐标分别代入它们所在的函数图象的解析式，求得y1=-2y2；最后根据SABCD=
AB+CD 2
•2x=24可以求得k2=y2x=-4．
点评 ：本题考查了反比例函数综合题．根据反比例函数的图象关于原点对称的性质求得点A与点B的纵坐标的数量关系是答此题的难点．
4.数形结合思想的综合应用
例6 (2013年眉山)如图7，在函数y1= k1 x（x＜0）和y2=
k2 x （x＞0）的图象上，分别有A、B两点，若AB∥x轴，交y轴于点C，且OAOB，SAOC=
1 2 ，SBOC=
9 2 ，则线段AB的长度= .
解析 ：根据反比例函数y= k x （k≠0）系数k的几何意义易得两反比例解析式为y=- 1 x ，y=
9 x ，设B点坐标为（
9 t ，t）（t＞0），则A点坐标为（-
1 t ，t），然后由RtAOC∽RtOBC得OC∶〖KG-*6〗BC=AC∶〖KG-*6〗BC，即t： 9 t = 1 t ∶〖KG-*6〗t，
所以t=3，
最后用两点的横坐标之差AB=33-（- 3 3 ）= 103 3 .
点评 ：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，利用相似三角形的性质求待定字母的值.
例7 （2013年威海）如图8，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数y1= m x 的图象经过点A，反比例函数
y2= n x 的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是（ ）
(A) m=-3n〖WB〗(B) m=-3n
(C) m=- 3 3 n 〖DW〗(D) m= 3 3 n
解析 ： 过点B作BEx轴于点E，过点A作AFx轴于点F，设点B坐标为（a， n a ），点A的坐标为（b，
m b ），证明BOE∽OAF，利用对应边成比例：
OE AF = BE OF =
OB AO ，即
-am b
=n ab
= 1 3 .
解得：m=-3ab，n=
ab 3 ，
故可得：m=-3n．所以选(A)．
点评 ：本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是结合解析式设出点A、B的坐标，得出OE、BE、OF、AF的长度表达式，利用相似三角形的性质建立m、n之间的关系式，难度较大．
反比例函数最重要的知识点便是k几何意义.“复式双曲线”型试题只不过将两个不同的双曲线置于同一个直角坐标系中，我们在解题时不能被题目的表相所迷惑.其解题思路、方法并没有改变，仅仅是形式上有所变化而已.