高等数学中有关分段函数分界点问题的探讨

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇高等数学中有关分段函数分界点问题的探讨范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘 要： 分段函数是一元函数微积分学中的一类重要函数，本文通过具体的实例分析探讨了关于分段函数的分界点在极限、连续性、可微性（可导性），以及复合函数等方面的问题，帮助学生提高有关分段函数应用的解题技巧.

关键词： 分段函数 分界点 可微性（可导性） 复合函数

注：判断分段函数在分界点处的连续性，应先判断其在分界点处的极限是否存在，若极限不存在，则函数在该点不连续；若极限存在，则要进一步判断极限值是否等于该点的函数值，若相等，则函数在该点连续，否则函数在该点间断.

三、 分界点处的可微性

由于分段函数是一元函数，而一元函数可导与可微是等价的.因此判断分段函数在分段点处的可微性只需判断分段函数在分段点处是否可导即可，那么，如何判断分段函数在分段点处的可导性呢？

注：由上例可以看出判定分段函数在分界点处的可导性或可微性通常有两种方法：（1）用导数的定义及左、右导数来确定分段函数在分界点处的导数是否存在；用这种方法解决问题比较准确，并且导数的定义式——极限的存在性，不需讨论或验证一些前提条件，是首选的好办法.因此，在解这类题目的时候，特别是初学时，用这种方法比较合适；（2）可以借助可导与连续的关系来讨论，但此方法只能判别函数在该点处不可导，有一定的局限性.

四、两个分段函数的复合函数

注：将两个分段函数复合时，复合函数[g（x）]的定义域取决于g（x）的取值情况.

以上主要对一元函数中分段函数的极限、连续、可微（可导）、复合函数等问题进行了简单的讨论，其实在多元函数的微积分学中，这些问题也会经常遇到，可见分段函数在高等数学教学中的作用是一般函数难以替代的.因此学习时必须掌握分段函数的特点，同时理解极限、连续、可微（可导）、复合函数的定义，从研究对象的定义入手 ，简化分段函数在微积分学中的应用问题.

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]陈刚.关于高等数学中极限思想的研究[J].工科数学，2001.