f(x)(x∈A)的值域为[m,M]与m≤f(x)≤M对x∈A恒成立不等价

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(2008年全国高考全国卷Ⅱ文21) 设a∈R，函数f(x)=ax3-3x2.

(1)若x=2是函数y=f(x)的极值点，求a的值；

(2)若函数g(x)=f(x)+f′(x),x∈［0，2］，在x=0处取得最大值，求a的取值范围.

对第(2)小问，参考答案给出的解答很特别，考生不易想到，用常规方法要分类讨论，又比较繁，于是有学生用了下面的解法.

解：(2)f′(x)=3ax2-6x,g(x)=ax3-3x2+3ax2-6x,g(0)=0，由题意有ax3-3x2+3ax2-6x≤0对x∈［0，2］恒成立.当x=0时，a∈R；当0

注：上述解法是巧合，即上述解法不具一般性.这是因为f(x),x∈A的值域为［m,M］与m≤f(x)≤M对x∈A恒成立不等价，f(x),x∈A的值域为［m,M］f(x)min=m，

f(x)max=M是方程组问题；m≤f(x)≤M对x∈A恒成立f(x)min≥m，

f(x)max≤M是不等式组问题.因此，两个问题的结果一般是不同的.

例 函数y=ax+bx2+1的值域为［-1，4］，求a,b的值.

解：(用方程法求值域)y=ax+bx2+1即为yx2-ax+y-b=0,x∈R,a2-4y(y-b)≥0，即y2+by-a24≤0，解得-b-b2+a22≤y≤-b+b2+a22,即值域为［-b-b2+a22,-b+b2+a22］，由题意得

-b-b2+a22=-1，

-b+b2+a22=4即

b2+a2=2-b,

b2+a2=8+b,解得a=4,

b=-3,或

a=-4,

b=-3.但用-1≤ax+bx2+1≤4对x∈R恒成立得-1≤ax+bx2+1，

ax+bx2+1≤4,即x2+ax+b+1≥0

4x2-ax-b+4≥0恒成立，a2-4(b+1)≤0,

a2-16(-b+4)≤0,即

b≥14a2-1,

b≤4-a216,-1≤14a2-1≤b≤4-a216≤4，即-1≤b≤4,-25≤a≤25(这个结果也可由-b-b2+a22≥-1

-b+b2+a22≤4得出).即得到的是a,b的取值范围.

那么前面的学生解法为什么结果是正确的呢?即怎样巧合的呢?是因为当a=0时，g(x)=ax3+3(a-1)x2-6x≤0为g(x)=-3x2-6x≤0,解得x≥0或x≤-2,即解集是(-∞,-2］∪［0,+∞);当a0时，不等式ax3+3(a-1)•x2-6x≤0的解集是

(-∞,3(1-a)-9a2+6a+92a］∪

［0,3(1-a)+9a2+6a+92a］，又x∈［0，2］时，g(x)≤g(0)=0,［0,2］是不等式ax3+3(a-1)x2-6x≤0的解集的子集，即不等式ax3+3(a-1)x2-6x≤0对x∈［0，2］恒成立.而不等式恒成立问题，即给定区间D，关于x的不等式F(x,a)>0(或F(x,a)≤0)，对x∈D恒成立，求a的取值范围问题，解这类问题一般都有三种方法：一是直接求g(x)=F(x,a)的值 域(m(a),M(a))，由m(a)>0(或M(a)≤0)解出；二是在F(x,a)>0中解出af(x)),求 出f(x)的值域(m,M)，由aM)直接得出；三是在F(x,a)>0中解出x的集合A，由AD列不 等式解出.这三种方法中的任意一种方法都行，但繁简有别，一般以第一，第二种方法简单而常用，特别是第二种方法(分离参数法)从F(x,a)>0中解出af(x))，就归为求不含参的函数f(x)的值域，显得尤为简捷.前面学生的解法就是第三种方法，即分离参数法.