巧用二项式定理解决一类数列问题

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇巧用二项式定理解决一类数列问题范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

题目：已知数列{a}是以d为公差的等差数列，数列{b}是以q为公比的等比数列.若b=a，b=a≠a，b=a（其中t>s>r，且（s-r）是（t-r）的约数）.求证：数列{b}中每一项都是数列{a}中的项.

本题是2010年盐城市高三调研测试的压轴题，主要考查了等差数列和等比数列性质的应用，以及数学归纳法在数列中的应用，题目较为复杂，需要一步一步地分析求解，计算量要求较高，属于难题.

解法1：由b=a，得b=bq=a=a+（s-r）d，则d=；

因为b=bq=aq=a=a+（t-r）d，

所以aq-a=（t-r）·，从而a（q+1）（q-1）=a（q-1）·.

因为a≠a，即b≠b，所以q≠1，又a≠0，

故q=-1.又t>s>r，且（s-r）是（t-r）的约数，

所以q是整数，且q≥2，对于数列中任一项b（这里只要讨论i>3的情形），

有b=aq=a+a（q-1）=a+d[（s-r）（1+q+q+…+q）+1-1]

因为（s-r）（1+q+q）+…+q）+1是正整数，所以b一定是数列的项.

此法是答案提供的方法，虽然紧扣考点，但技巧性强，对教材等差数列与等比数列知识理解能力要求很高.

注意到b=bq中含有q，而q可以写成[（q-1）+1]，因此可考虑利用二项式定理将其展开求解，本文给出此种解法.

解法2：由b=a，b=a≠a，知q≠1，{b}成等比数列，则b=bb，即a=a·a，

将a=a+（s-r）d代入得，[a+（s-r）d]=a[a+（t-r）d]

展开：a+2（s-r）da+（s-r）d=a+（t-r）da，2（s-r）a+（s-r）d=（t-r）a，

化简：2a+（s-r）d=a，即：a+（s-r）d=（-1）a=a，

两边同除a：=（-1）==q∈N，

另：===q，即a=.

b=bq=aq=q=[（q-1）+1]

=[C（q-1）+C（q-1）+…+C（q-1）+1]

=[C（q-1）+C（q-1）+…+C（q-1）]（s-r）d

=a+[C（q-1）+C（q-1）+…+C（q-1）]（s-r）d

因q∈N，则M=[C（q-1）+C（q-1）+…+C（q-1）]（s-r）∈N

故b=a+Md，数列{b}中每一项都是数列{a}中的项.

此法的关键在于将复杂的条件整合，用题目中的原始量将b表示成“a+Md”的形式.虽然计算量仍然很大，且对二项式定理要求很高，但不失为解决此类问题的一个好办法，因此值得推广.

如题：等差数列{a}中，a=2，公差d是自然数，等比数列{b}中，b=a，b=a，探索当且仅当取d怎样的自然数时，{b}的所有项都是{a}中的项，并说明理由.

分析：由a=2，b=a，b=a，则等比数列{b}的公比q=+1，

此时b=b·q=2（1+）.

=2[C（）+C（）+…+C（）+1]

=[C（）+C（）+…+C]d+2=2+（M-1）d

若[C（）+C（）+…+C]∈N*，则{b}数列的所有项都是{a}中的项，因此只需满足∈N*.

反之，当d为奇数时，[C（）+C（）+…+C]？埸N*，此时不满足条件.

所以，当d是非负偶数时满足条件.

类似的题目还有很多，不能一一列举.利用二项式定理解题能够使解题的方向性更强，虽结构复杂，但思路易懂，还能灵活运用知识，达到举一反三、触类旁通的目的.