函数与导数 疑难将何去

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇函数与导数 疑难将何去范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

函数与导数的应用是新课程数学高考的重要内容． ２０１０年的高考数学卷与前几年的高考数学卷相比，“重”在综合与运用，“热”在函数、方程与不等式. 那么，“疑”与“难”又有怎样的新变化呢？在选择题和填空题方面，除了与实际应用相联系的问题频频出现，说不上有其他明显的变化倾向. 可在解答题方面，通过增加已知函数中含参的个数或仅给出自定义函数的性质，来增设“疑点”、提升“难点”的问题多有所见，这种问题值得同学们关注．

例（2010年高考数学江苏卷第20题）设ｆ（ｘ）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为ｆ′（ｘ）． 如果存在实数a和函数h（ｘ），其中h（ｘ）对任意x∈（1，+∞）都有h（ｘ）>0，使得ｆ′（ｘ）=h（ｘ）（ｘ2-ａｘ+1），则称函数ｆ（ｘ）具有性质P（ａ）．

（１） 设函数ｆ（ｘ）=lnx+（ｘ＞1），其中ｂ为实数． ①求证：函数ｆ（ｘ）具有性质P（b）；②求函数ｆ（ｘ）的单调区间．

（２） 已知函数g（ｘ）具有性质P（2）． x1，x2∈（1，+∞）且x1

解析： 从已知条件来看，例题的考点主要体现在对自定义函数的理解和运用上． 让我们来具体分析一下． 第（１）小题第①部分要证ｆ（ｘ）具有性质P（b），就是要证明ｆ′（ｘ）可以写成ｆ′（ｘ）=h（ｘ）（ｘ2-ｂｘ+1）的形式． 第（１）小题第②部分要求ｆ（ｘ）的单调区间，就等于要求出ｆ′（ｘ）>0与ｆ′（ｘ）

（１） ①由ｆ（ｘ）=lnx+（ｘ＞1）得ｆ′（ｘ）=-＝（ｘ2-ｂｘ+1）． x>1时，h（ｘ）=>0恒成立， 函数f（ｘ）具有性质P（b）．

②设φ（ｘ）=ｘ2-ｂｘ+1=x-2+1-．

当1-≥0，即-2≤b≤2时，φ（ｘ）=x-2+1->0． 当x>1时，由①可知，φ（ｘ）=ｘ2-ｂｘ+1与ｆ′（ｘ）=（ｘ＞1）的符号相同． 此时ｆ′（ｘ）>0． 可知ｆ（ｘ）在（1，+∞）上单调递增．

当ｂ＜-2时， 抛物线y=φ（ｘ）=ｘ2-ｂｘ+1开口向上，对称轴x=1仍有φ（ｘ）>0， ｆ′（ｘ）>0，可知ｆ（ｘ）在（1，+∞）上仍单调递增．

当b>2时，抛物线y=φ（ｘ）＝ｘ2-ｂｘ+1开口向上，对称轴x=>1，解方程ｘ2-ｂｘ+1＝0得x1=，x2=. 而=+>>1，=＝＜∈（0，1）， 当ｘ∈1，时，结合二次函数φ（ｘ）＝ｘ2-ｂｘ+1的图象可知，φ（ｘ）＜0，则ｆ′（ｘ）＜0 ， 此时ｆ（ｘ）在区间1，上单调递减.同理可得，ｆ（ｘ）在区间，+∞上单调递增．

综上可得，当ｂ≤2时，ｆ（ｘ）在区间（1，+∞）上单调递增；当ｂ＞2时，ｆ（ｘ）在1，上单调递减，在，+∞上单调递增．

（２） 函数ｇ（ｘ）具有性质P（2），即ｇ（ｘ）的导函数ｇ′（ｘ）＝ｈ（ｘ）（ｘ2-2ｘ+1）＝ｈ（ｘ）（ｘ-1）2，其中函数ｈ（ｘ）＞0对ｘ∈（1，+∞）恒成立． 当x>1时，ｇ′（ｘ）>0， ｇ（ｘ）在区间（1，+∞）上单调递增．

当ｍ∈（0，1）时， ｘ1＜ｘ2，α＝ｍｘ1+（1-ｍ）ｘ2＞ｍｘ1+（1-ｍ）ｘ1＝ｘ1，α＝ｍｘ1+（1-ｍ）ｘ2＜ｍｘ2+（1-ｍ）ｘ2＝ｘ2， α∈（ｘ1，ｘ2）. 同理可得β∈（ｘ1，ｘ2）. 由ｇ（ｘ）在区间（1，+∞）上单调递增可知ｇ（ｘ1）＜ｇ（α）＜ｇ（ｘ2），ｇ（ｘ1）＜ｇ（β）＜ｇ（ｘ2）， g（α）-g（β）＜g（ｘ1）-g（ｘ2）．

当ｍ≤0时，α＝ｍｘ1+（1-ｍ）ｘ2≥ｍｘ2+（1-ｍ）ｘ2＝ｘ2，β＝（1-ｍ）ｘ1+ｍｘ2≤（1-ｍ）ｘ1+ｍｘ1＝ｘ1，又 α＞1，β＞1，由ｇ（ｘ）在区间（1，+∞）上单调递增可知ｇ（β）≤ｇ（ｘ1）＜ｇ（ｘ2）≤ｇ（α）， g（α）-g（β）≥g（ｘ1）-g（ｘ2），与题意不符．

当ｍ≥1时，α＝ｍｘ1+（1-ｍ）ｘ2≤ｍｘ1+（1-ｍ）ｘ1＝ｘ1，β＝（1-ｍ）ｘ1+ｍｘ2≥（1-ｍ）ｘ2+ｍｘ2＝ｘ2， α＞1，β＞1，由ｇ（ｘ）在区间（1，+∞）上单调递增可知ｇ（α）≤ｇ（ｘ1）

综上可得，当且仅当ｍ∈（0，1）时，g（α）-g（β）＜g（ｘ1）-g（ｘ2）成立，即ｍ的取值范围为（0，1）．

评注： 例题的“疑”与“难”正是高考函数与导数应用问题的新亮点．首先，题中的已知函数已不是我们过去熟悉的某种或某类函数（如关于x的三次函数等），而是一个只知性质而不知具体表达式的抽象函数. 因此，用导数研究函数性质的过程将变得隐蔽与迂回． 然而从本质上来说，题目并没有离开“用导数研究函数”的实质. 第（１）小题第①部分是用导数的已知“性质”来研究函数的另类性质（自定义性质），这种考查方法在过去从未出现，它能让人更深入地领会导数方法的本质. 第（１）小题第②部分与第（２）小题都应从函数的自定义性质出发，转化为判定函数单调性的导数条件，这是解题的关键． 值得回味的是，第（２）小题也不再像过去的高考题那样，可从不等式恒成立这一条件来求出m的取值范围，而是要反过来从m的取值范围来分段讨论已知不等式是否成立，这也是对函数单调性本质考查的表现.

从以往高考函数与导数应用解答题的设计来看，从不含参数的某种或某类具体函数问题（如二次、三次函数问题），到含有一个参数的某种具体函数问题，直至含两个参数或仅给出性质而不知具体表达式的函数问题，反映了新高考“考查本质”的倾向. 因此，我们的高考复习也应该走出“模式化应试”的误区，努力在知识与方法的本质上下工夫！