二重积分在储油罐发生变位时的储油模型中的应用

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摘 要 本文主要利用二重积分求立体体积的方法解决如下问题：当储油罐发生变位时，油位高度和储油量的变化关系。可建立如下模型：当罐体发生纵向位倾斜角时（以 = 4.1拔枚鼗炙愠龃⒂土康奶寤齎与油位高度的函数表达式，由函数表达式画出函数图像，由图像进行最小二乘法拟合，得到如下模型： = -1.0923023 + 4.9804020 9.0757017 + 8.12020143.21390113.4521009 + 1.00440050.00032896 + 0.0084474根据模型可得到罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

关键词 最小二乘法 二重积分 曲线拟合 数值分析 matlab

中图分类号：O13 文献标识码：A

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用图1的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），当罐体发生倾斜角为 = 4.1暗淖菹虮湮皇保⑹P脱芯抗尢灞湮缓蠖怨奕荼淼挠跋臁2⒏龉尢灞湮缓笥臀桓叨燃涓粑？cm的罐容表标定值。

首先建立空间直角坐标系，如图2所示，以探油针所在直线为轴，过探针与油桶的底部交点，利用椭圆柱的直母线作轴，再以交点作原点建立三维空间笛卡尔直角坐标系。

根据图2建立椭圆柱面的方程为： + = 1其中 = 0.89， = 0.6。

当桶内有油时，油面与水平面是平行的，当桶发生生变位时，油面与平面成角。当油针所在位置为油高时，油面可建立平面的方程为：

+ + + = 0（≠0），

由方程可知该平面过点（0，0，）和点（0，，0）且与面（ = 0）的夹角为，可建立方程：

整理上述方程组（1）得

解方程组（2）得 = 0。

所以平面方程为：

+ = 0即 = + = 0。

若平面经过原点，则平面方程为：

+ = 0即 = - 0。

油平面截椭圆柱面所得下半部分的体积，利用二重积分可将体积表示如下：

（1）当油还没有到达探针底部时 = 0， 0≤≤，

= 2，其中 = {（）∣-0.4≤≤0，0≤≤- }

经计算 = 0.001674，此时罐储油量0≤≤ = 0.001674。

这时油面油位探针显示的示数是0。

（a）小椭圆油罐正面示意图

（b）小椭圆油罐截面示意图

图1 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图

图2

（2）当油面高过探针底部到油面到达另一端底部时，0

= 2， = {（）∣-0.4≤≤，0≤≤ }。

求解得：

= 11.7 + 0.2759[259.0） + 4.47 + 4.47 （1.6670.9522）祝？.6670.9522）6.686

（3）油面达到另一端底部到前一段顶部时，2.05

= 2， = {（）∣-0.4≤≤2.05，0≤≤ }。

运行的结果：

（4）油面达到前一段顶部到探针顶部时，1.20.4

= （0.4）

= 2， = {（）∣-（0.4）≤≤2.05，0≤≤ }。

结果： = 35.110.2759[259.0） + 0.2759[25.09] + 4.47（3.3332.952）4.47（1.6671.245）（1.6671.245） + 4.474.4739.4

（5）当 = 1.2时，3.98 = （1.2）≤≤

利用最小二乘法拟合函数得：

= -1.0923023 + 4.9804020 9.0757017 + 8.12020143.21390113.4521009 + 1.0044005 0.00032896 + 0.0084474。

利用拟合函数可得罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值的表格（省略）。

本模型的最大优点是巧妙地运用初等数学知识建立数学模型，并通过利用数学工具和Matlab编程的方法，严格地对模型求解，具有科学性。建立的模型能与实际紧密联系，结合实际情况对所提出的问题进行求解，使模型更贴近实际，通用性、推广性较强。由于该模型是通过分类讨论，在微积分与立体几何相结合的基础上建立的，因此计算结果与实际比较接近，实用性比较强，同时这种思想也能推广到其他形状的图形的体积计算中去，服务于各种图形的求解及其测量。

基金项目：广西高等学校特色专业及课程一体化建设项目（GXTSZY2220）《数学与应用数学》；河池学院重点学科《应用数学》（2007）和《统计学》（2013），新世纪教改工程2011年项目（2011JGB321），2011年度广西教育厅科研项目—立项项目（201106LX583），2011年度院级青年科研立项A类项目（2011A-N009），湖北省教育厅科研计划项目（Q20122504）

参考文献

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[2] 吴建国等.数学建模案例精编.北京：中国水利水电出版社，2005.

[3] 王冬琳.数学建模及实验.北京：国防工业出版社，2004.

[4] 华东师范大学数学系.数学分析（第三版）.北京：高等教育出版社，2001.

[5] 冯杰等.数学建模原理与案例.北京：科学出版社，2007.

[6] 陈汝栋等.数学模型与数学建模.北京：国防工业出版社，2006.

[7] 李志林.数学建模及典型案例分析.北京：化学工业出版社，2007.