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例1(第23届“希望杯”初二第1试)在平面直角坐标系中,先将直线
y=3x-2
关于x轴作轴对称变换,再将所得直线关于y轴作轴对称变换,则经过两次变换后,所得直线的表达式是()
(A) y=2x-3(B) y=3x-2
(C) y=2x+3(D) y=3x+2
解:直线y=3x-2关于轴做轴对称变换,得
-y=3x-2;
直线-y=3x-2关于y轴做轴对称变换,得
-y=-3x-2.化简后得y=3x+2.
故选(D).
二、求取值范围
例2(2012年河南赛区)已知一次函数
y=(m+1)x+(m-1)
的图像经过一、二、三象限,则下列判断正确的是()
(A) m>-1(B) m
(C) m>1(D) m
解:
一次函数y=(m+1)x+(m-1)的图像经过一、二、三象限,说明其图像与y轴的交点位于
y轴的正半轴,且y随x的增大而增大,所以
m-1>0
m+1>0
,解得
m>1
,故选(C).
三、求点的坐标
例3(2011年四川省初二)在平面直角坐标系中,
A(2,0),B(3,0),P是直线
上的点,当
PA+PB最小时,试求P的坐标.
解:作点A关于直线y=x的对称点A2,则
PA=PA1,故
PA+PB=PA1+PB.只有当
A1、P、B三点共线时,
PA+PB最.又由A与A1关于直线y=x对称知
A1(0,2),
由A1、B两点坐标得直线
A1B的方程为
x3+y2=1,联立
x3+y2
=1
y=x,
解得
x=65
y=65
,
故当PA+PB最小时,点P的坐标是
(65
,65).
四、求整点的个数
例4 (2012年衢州市)某个一次函数的图象与直线
y=12x+3平行
与x轴、y轴的交点分别为
A、B,并且过点
(-2,-4)则在线段AB上(包括点A、B),横、纵坐标都是整数的点有()
(A)3个(B)4个(C)5个(D)6个
解:依题意设一次函数解析式为
y=12x+b
由点(-2,-4)在该函数图象上,得
-4=12×(-2)+b
,则b=-3所以y=12x-3可得点
A(6,0)、B(0,-3).
由0≤x≤6且
x为整数,取x=0,2,4,6时,对应的y值是整数,因此,在线段
AB上(包括点A、B),横、纵坐标都是整数的点有4个,故选(B).
五、求函数图像与坐标轴围成的三角形面积
例5(2012年衢州市)已知一次函数
y=1-kxk+1(k是不为0的自然数,且是常数)
的图像与两坐标轴所围成的图形面积为Sk(即k=1时得
S1,k=2时得
S2
,…)试求S1+S2+S3+…S2012的值.
解:一次函数
y=1-kxk+1
的图象与两坐标轴的交点分别是
(1k,0)、(0,1k+1)
则
Sk=
12·1k
·1k+1
=12
(1k
-1k+1),
所以原式
=12
(1-12)+12(12-13)+12(13
-14)+…+
12(
12012
-12013)
=
12
(1-12013)=
20062013.
六、新定义函数
例6(2009年“城市杯”八年级)设关于
x的一次函数y=a1x+b1与
y=a2x+b2,则称
y=m(a1x+b1)+n(a2x+b2)(其中m+n=1)
为此两个函数的生成函数.
(1)当x=1时,求y=x+1与y=2x的生成函数的值;
(2)若函数y=a1x+b1与
y=a2x+b2的图像的交点为
P,判断点P是否在此两个函数的生成函数的图像上,并说明理由.
解:(1)当x=1时,
y=m(x+1)+n(2x)=m(1+1)+n(2×1)=2m+2n=2(m+n),
因为m+n=1所以y=2.
(2)点
P在此两个函数的生成函数的图像上.
设点P的坐标为(a,b),因为a1×a+b1=b,
a2×a+b2=b,
所以m(a1×a+b1)+n(a2×a+b2)=
mb+nb=(m+n)b=b,
即点P在此两个函数的生成函数的图像上.
七、求参数的值
例7(第23届“希望杯”初二第1试)一次函数
y=(m2-4)x+(1-m)和
y=(m+2)x+(m2-3)
的图像分别与交于点P和Q,这两点关于
x
轴对称,则m的值是()
(A) 2(B) 2或-1(C) 1或-1(D) -1
解:由题意得
P(0,1-m)、Q(0,m2-3).
由P、Q关于x轴对称,
所以1-m+m2-3=0,即m2-m-2=0,解得
m=2或-1.当m=2时,m2-4=0,第一个函数为y=-1,
不是一次函数,不合题意,舍去.所以m=-1.故选(D).
八、应用题
例8(2005年辽宁省八年级)学校计划购置一批电脑,现有甲、乙两家商场报价每台均为a元,甲商场的优惠条件是购买10台以上,则从11台开始按报价的70%出售;乙商场的优惠条件是每台按报价的85%出售.如果两家商场的电脑品牌、质量及售后服务完全相同,你选择哪家商场购货?
解:设学校计划购买电脑x台,
(1)如果0
(2)如果x>10,依题意,得
在甲商场购货付款y1=[10+(x-10)×70%]
a(元),
在乙商场购货付款 y2=x×85%×a(元).
y1-y2=a(3-320x),
由于 a>0,
①即3-320x=0,即
x=20时,y1=y2
,
两家商场任选一家购货即可;
②3-320x
x>20时,y1
③3-320x>0,即
xy2,宜在乙商场购货.