数列求和的常规方法
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摘要：数列是高中数学中很重要的内容之一，是历年高考的重点。本文例举了数列求和的常规方法。
关键词：数列，求和，常规方法。
数列是高中数学中很重要的内容之一，是高考的热点和重点。数列中蕴含着丰富的数学思想。我们可从推导简单的等差，等比数列的前n项和公式倒序相加法和错位相减法启发，由此对于一般的数列，得到下面的几种方法，这些方法是我们求一般数列的通法，现将这些方法总结如下：
一、公式法求和
对这些比较简单常见的数列，我们可以记下他们的前项和，在题目里可以直接利用它们求某些数列的和，（1）1+2+3+…+n=（2）12+22+32…n2=n（+1）（2n+1）（3）13+23+33+…n3=n2（n+1）2（4）Ｓn==n1+d （等差）（5）Ｓn=n1（q=1）=（q≠1）（ 等比数列）
这些公式也是我们求数列的基本技巧，须加以理解运用。
二、分组结合法（裂项法）
如数列不是等差数列，也不是等比数列，若能将数列适当拆开，可分为几个等差，等比或常见数列，能分别求和，然后再将和合并。（例如数列cn的通项公式为cn=n+bn ，其中n,bn 分别是等差数列和等比数列，求和时可利用分组结合法。）
例1，求数列1+1，+4，+7，...，+3n-2，...的前n 项的和.
解：设前n 项的和为Ｓn ，则
Ｓn=（1+1）+（+1）+（+7)+...+（+3n-2)
=（1+++...+）+［1+4+7+...+（3n-2）］，
设Ｓ′=1+++...+,当=1时，Ｓ′=n;当≠1时,Ｓ′=
设Ｓ″=1+4+7+...+（3n-2）=
故当=1时，Ｓn=Ｓ′+Ｓ″=+
当≠1时,Ｓn=Ｓ′+Ｓ″=+
三、裂项相消法
若一个数列的每一项都可以化为两项之差，并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项互相抵消，这种数列求和的方法就是裂项相消法。他的实质是将数列中的项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。
例 2，求数列，,,...,的前n项的和Ｓn 。
解：因为n==［-］
所以Ｓn =［-+-+...+-］
=［-］=
小结：裂项法适用于两类数列，一类是通项结构是分式，分子是常数，分母是某等差数列连续两项或几项之积，其解题技巧是先减后除公差。另一类是通项为某些无理根式，其技巧是有理化。常见的拆项公式有
（1）=-（2）=（-)
（3）=［-］
（4）=（-）（5）n .n !=（n+1）！-n !
四、错位相减法
若数列cn的通项公式是cn=n+bn,其中n是等差数列,bn是等比数列求和时,一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法叫错位相减法。在等比数列的前n项求各公式的推导就是用到这种方法。
例3.求数列1，3，52，...，（2n-1）n-1（≠0）的前n 项的和Ｓn .
解：设Ｓn =1+3+52+（2n-1）n-1,记1式
则Ｓn =+32 +53+...+（2n-3）n-1+（2n-1）n,记2式
1式-2式得（1-）Ｓn =1+2+22+23+...+2n-1-（2n-1）n.
当=1时，Ｓn =n2 ;
当≠1时，Ｓn =.
五．奇偶分析法
若数列的通项公式中，表达式分n为奇偶则在求Ｓn的过程中,先从n偶数入手，探求Ｓn .当n为奇数时,利用Ｓn =Ｓn-1+n求出奇数时Ｓn 的表达式.
例4.已知数列n的通项公式为n=6n-5（n=2ｋ+1ｋ∈Z）4n（n=2ｋ，ｋ∈Z）,求数列n的前n 项和Ｓn 。
解：（1）当n 为偶数时，n -1为奇数，
Ｓn =（1+3+5+...+n -1）+（2+4+6+...+n）
=+×12+
=++
(2)当n 为奇数时，n-1为偶数，
Ｓn =Ｓn-1+n=++（4n-1-1）+6n-5
=+（4n -4）
六．倒序相加法
将一个数例倒过来排列，当它与原来数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求的，则这样的数列可以用倒序求和，如等差数列的前n 项和就用此法得出的。
例5：求和Ｓn =Cn1+2Cn2+3Cn3+...+nCnn （n∈N*）
解：Ｓn =Cn1+2Cn2+3Cn3+...+（n +1）Cnn-1+nCnn （1）
Ｓn =nCn0 +（n +1）Cn1+（n +2）Cn2+...+2Cnn-2+Cnn-1 （2）
(1)+(2)得2Ｓn =nCn0 +nCn1+...+nCnn =n（Cn0 +Cn1+...+Cnn）
=n.2n-1
所以Ｓn =n .2n-1
当然数列的求和的常规方法还远不止以上几种，还有很多方法没有发现，还有许多工作要做。