教育体系、收入分布与经济增长
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作者简介：邱伟华(1976―)，男，复旦大学经济学院(上海，200433)。研究方向：宏观经济学。景瑞琴(1973―)，女，山西财经大学国际贸易学院(太原，030006)。研究方向：国际经济学。
一、 引 言
长期以来，经济增长与收入差异之间的关系一直受到经济学家的关注。Kuznets假说认为，收入差距随着一国经济的发展先上升后下降。在随后的数十年里，尽管对于Kuznets假说的实证研究没有得出经济增长与收入差异之间的任何确定性关系，却使人们意识到收入差异对经济增长的反方向影响机制也是存在的。早期增长理论对有关收入差距与经济增长的研究仅从消费、储蓄及投资等角度着眼。直到Romer(1986)[1](1002-1037)和Lucas（1988）[2](3-42)提出基于人力资本积累的内生增长理论之后，这种状况才发生了转变。经济学家于是更清楚地认识到人力资本对长期增长的重要性。收入差距不仅影响物质资本积累，更会影响到人力资本积累。在收入分布相对不平等的社会，低收入家庭用于教育投资的资源十分有限，这必然会影响到整个社会的人力资本积累与经济增长速度。由于人力资本积累的代际传递性，收入不平等的状况将会持续下去，并进一步影响未来的人力资本积累与经济增长。
教育对人力资本的形成与积累至关重要，因此，它在一国经济中的重要性不言而喻。Barro(1991)[3](5-32)的实证研究表明，一国的教育水平与经济增长是正相关的。Gregorio和Lee(2002)[4](395-416)则通过对100多个国家的面板数据进行分析，发现教育因素（如平均受教育程度、教育分布及公共教育支出）在缩小收入差距方面发挥了重要作用。大多数国家私立教育与公立教育并存，为了分析方便，本文将把这两种体系区分开来进行研究。在私立教育体系下，孩子的教育投资完全由其所在的家庭提供，这样每个孩子接受的教育投资会因其所在家庭的收入不同而产生差异；在公立教育体系下，政府通过统一征收公共教育税为公共教育融资，这样，每个孩子接受的教育投资就是相同的。这一差别对收入不平等的演化有重要的影响。本文试图研究不同教育体系（私立教育还是公立教育）对收入分布与经济增长的影响。已有文献(如Glomm和Ravikumar(1992)、[5](818-834)Eckstein和Zilcha(1994)、[6](339-359)Zhang(1996)[7](387-404))在研究教育对资本积累与收入分布的影响时，只考虑了人力资本积累，没有考虑物质资本积累。然而，物质资本与人力资本积累是相互作用的，而且这一相互作用对政府最优公共教育税的选择也是有影响的。因此，在已有文献( Zhang(2005)、[8](547-566)Chen(2005)[9](325-353))的基础上，本文将建立一个同时含有物质资本积累与人力资本积累的二维世代交叠模型，对私立教育与公立教育体系下的经济增长与收入分布的动态演化进行比较，并在模型中考虑人力资本积累对物质资本回报率的影响，这是对一维人力资本增长模型的一种改进。①
本文第一部分为引言，第二部分建立基本模型，第三部分是对该模型的求解，第四部分对模型进行数值模拟，第五部分为本文的结论。
二、基本模型
我们建立一个世代交叠模型来研究私立教育与公立教育体系下人力资本积累与收入差异的演化，及其对经济增长的影响。模型中的所有家庭在单位区间［0，1］上连续分布。家庭之间的收入差异来源于：(1)每个家庭拥有的人力资本不同；(2)每个家庭中孩子的学习能力a也是有差异的。该经济体中每个家庭的家庭成员都只生活3个时期（即童年期，成年期与老年期），每一个时期持续的时间大约为20年。出于简化的目的，假定每个家庭都是单亲家庭，每个人都由她的单亲母亲抚养长大，成年后生育一个孩子，然后安度晚年离开人世。这样每个家庭在任何时期都只有3个家庭成员（即孩子＋母亲＋祖母），整个社会的总人口保持不变。每个t期的成年人在t-1期出生，作为一个孩子只是接受教育；在t期时作为一个成年人决定家庭的消费、储蓄与教育投资水平(在公立教育体系下，教育投资水平由政府决定)；在t+1期时，变为一个老年人，动用其在期的储蓄以安度晚年。
(一)社会生产函数与要素价格
假定整个社会的生产由一个代表性的新古典生产厂商来进行。该厂商吸收所有家庭的储蓄作为资本(K)，并雇佣所有家庭中成年人的人力资本(H)。社会生产函数为
社会的资本与有效劳动比记为：kt=Kt/Ht
市场出清决定了每个时期的要素价格分别为：
工资率：
资本回报率：
(二)人力资本积累函数及其分布函数
t+1期人力资本积累由一个Cobb-Douglas型的学习函数给出，即孩子的人力资本依赖于其自生的学习能力at、私人教育投资et或政府公共教育投资et、母亲的人力资本ht以及整个社会的人均人力资本水平Ht。
在完全的私立教育体系下，私人教育投资et=τe,twtht，故人力资本积累方程为：
在完全的公立教育体系下，公共教育投资et=τ*ewtHt，故人力资本积累方程为：
假定孩子学习能力at的分布随时间不变，并服从对数正态分布（at―LN(μa,Δ2a)）。t期的人力资本ht也服从对数正态分布（ht―LN(μt,Δ2t)），并且学习能力的分布(at)与人力资本的分布Ψ(ht)是相互独立的。
(三)家庭效用函数
假定每个家庭的成年人出于利他主义的原因为孩子的人力资本形成进行教育投资，因此孩子将来的人力资本将进入每个家庭成年人的效用函数。t期成年人的效用函数由下式给出：
在私立教育体系下，t期每个家庭的成年人决定家庭收入中用于孩子教育投资的比例τe,t、用于储蓄的比例τs,t和当期的消费比例1-τe,tτs,t。假定每个成年人有一个单位劳动时间，其有效劳动供给为ht，该家庭的收入则为wtht。因此
t期成年人的当期消费ct,t=(1-τe,t)-τs,twtht(6)
t期成年人在其老年期t+1期时的消费ct,t+1=(1+rt+1)τs,twtht(7)
在公立教育体系下，τe,t为政府征收的公共教育税税率，因此
t期成年人的当期消费ct,t=(1-τ*e,t)-τ*s,twtht(8)
t期成年人在其老年期时的消费ct,t=(1+rt+1)τs,twtht (9)
三、模型的均衡解
在私立教育体系下，成年人进行的家庭储蓄与教育投资决策时将1+rt+1视为给定，故其面临的效用函数最大化问题为：
在公立教育体系下，假定政府是一个代表公众的社会优化者，它的目标是通过公共政策最大化公众的个人效用函数。因为政府制定税率在先，所以成年人进行家庭储蓄决策时将公共教育税τe,t、t+1期的资本回报率1+rt+1视为给定，故其面临的效用函数最大化问题为：
由于政府是一个代表公众的社会优化者，故政府在选择最优公共教育税τe,t时将考虑公共教育税对t+1期的物质资本与人力资本比回报率kt+1的影响。
由(2)、(4)、(5)、(8)、(9)与(12)可知政府面临的效用函数最大化问题为：
(一)私人教育体系
在私人教育体系下，最优的教育投资、储蓄占收入的比例由(10)决定，即
maxln(1-τe,t-τs,t)+βlnτs,t+ρvlnτe,t
其一阶条件为：
τe,t:-1/(1-τe,t-τs,t)+ρv/τe,t=0
τe,t:-1/(1-τe,t-τs,t)+βv/τe,t=0
均衡解为：
τe,t、τs,t为常数，每个家庭最优的储蓄和教育投资占家庭收入的比例在整个增长路径上都是静态的，因此每个家庭人力资本的演化方程服从：
由αt―LN(μa,Δ2a、ht―LN(μt,Δ2t)及对数正态分布的平均值Ht=μt+Δ2t/2，可以推出在t+1期时的人力资本分布ht+1―LN(μt+1Δ2t+1)满足
(二)公立教育体系
(三)私立教育与公立教育体系的比较
四、数值模拟
(一)参数设定
首先对人力资本积累函数(4)的参数v、θ进行设定。根据Card和Krueger(1992)[10］(1-40)的研究，我们设定v=0.12。Leibowitz(1974)[11］(111-131)的研究发现在不同年龄阶段，父母收入对子女收入的影响是变化的，子女收入对父母收入的弹性在当孩子的年龄为39岁时达到最大值0.655，因此设定θ=0.66。家庭效用函数中，未来消费的贴现因子β设定为β=0.8≈(0^99)20，反映家庭中成年人利他主义倾向强弱的因子设定为ρ=0.8。
社会生产函数中资本收入占总产出的比例在大多数文献中被设定为α=1/3，本文也采用这一通用值。从（18）、（21）可以看到，通过假定私人教育体系下最终稳态的人力资本对数正态分布方差Δ∞、物质资本人力资本比k∞经济增长率g∞，就可以求出参数A、E(a)和Δa。世界上各个国家的经济增长速度差别很大，从各国的数据来看稳定的增长速度大约为每年2%，所以我们将私人教育体系下最终稳态的经济增长率设为2%。World Income Inequality Database的数据显示福利国家的Gini系数一般小于0.3、多数发展中国家的Gini系数大于0.4，大多数成熟的市场经济国家的Gini系数在0.35左右。所以我们将最终稳态时的Gini系数为0.35。最后假定在稳态时，利率为3%。根据假设可以求出参数A=5.17636、E(a)=1.90558及Δa=0.4174。
(二)模拟结果③
将诸参数的取值代入第三部分的理论计算结果中，就可以比较私立教育与公立教育体系对经济绩效的影响。
从表1首先可以看到，在公立教育体系下国民收入中用于教育投资的比例要高于私立教育体系。人力资本投资具有正的外部性，即提高人力资本水平能够增加物质资本的回报率，从而提高老年期的效用水平。在私立教育体系下，家庭中的成年人仅是出于利他主义的原因对孩子进行教育投资，所以不可能考虑人力资本投资的外部性。政府作为一个代表公众的社会优化者在决定公共教育税率时，可以预见到人力资本投资具有正的外部性。因而在公立教育体系下，最优的教育投资水平要高于私立教育体系，个人也能达到比私立教育体系下更高的效用水平。由于公立教育体系使得整个经济具有更高的教育投资水平，加快了人力资本的积累，因而在公立教育体系下整个经济具有更高的稳态增长速度。并且在公立教育体系下每个人获得相同的教育投资，减少了因教育投资产生的不平等，所以公立教育体系之下的收入分布会更为平等。
表2与表3比较了一个国家在私立教育与公立教育体系下的经济绩效。如下图所示，公立教育体系下的人力资本增长率与经济增长率均高于私立教育体系下的人力资本增长率与经济增长率，并随着时间的推移收敛于各自的稳态增长率。从第1期的模拟数据看，私立教育与公立教育体系下的人力资本增长率有很大差别，但经济增长率差别很小。但第2期以后的模拟数据显示，由于人力资本增长率的不同，私立教育与公立教育体系下的经济增长率开始具有明显的差异。在公立教育体系下，收入不平等的状况比在私立教育体系下会得到更大的改善。
表3的模拟数据显示，由于在私立教育体系下的储蓄率高于公立教育体系，在第1期和第2期私立教育体系下的物质资本存量要高于公立体系之下。从长期来看，这种领先只是暂时的，第3期之后公立教育体系下的物质资本存量将反超私立教育体系下的物质资本存量。随着时间的推移，私立教育与公立教育体系下的总产出差距也将越来越大。
五、结 论
本文在一个同时含有物质资本积累与人力资本积累的二维世代交叠模型中，比较了私立教育与公立教育体系下的经济增长与收入分布的动态演化。与一维的人力资本增长模型相比，本文所建立的二维模型能够考虑人力资本积累对物质资本回报率的影响。由于在私人教育体系下，个人进行教育投资决策时将未来的资本回报率视为给定，而在公共教育体系下政府可以通过公共教育决策过程考虑到人力资本积累能够提高物质资本回报率，故在公共教育体系下，整个社会具有更高的教育投资水平，因而经济增长速度更高。此外由于公共教育体系为每个人提供了相同的教育投资，这将减弱家庭收入差异对人力资本积累的影响，所以与私人教育体系相比，公共教育体系下的收入分布将更为平等。
注 释：
①关于模型改进的详细论述请参见Zhang (2005)。
②证明省略，有兴趣的读者可通过编辑部与作者取得联系。
③本文使用Mathematica软件进行数值模拟。
④数值模拟结果中的gini系数系笔者通过数值算法从对数正态分布的方差计算而来。笔者计算所得的数值公式为gini=0.0386887+0.466728Δ。
主要参考文献：
［1］Romer , P. M, 1986, Increasing Returns and Long Run Growth, Journal of Political Economy, 94.
［2］ Lucas, R. Jr., 1988, On the mechanics of economic development, Journal of Monetary Economics, 22.
［3］Barro, R., 2000, Inequality and Growth in a Panel of Countries, Journal of Economic Growth, 65.
［4］De Gregorio, J. and Lee, J., 2002, Education and Income Inequality: New Evidence from Cross-Country Data, Review of Income and Wealth, 48.
［5］ Glomm, G. and Ravikumar, B., 1992, Public versus private investment in human capital: endogenous growth and income inequality, Journal of Political Economy, 100.
［6］ Eckstein, Z. and Zilcha, I., 1994, The effect of compulsory schooling on growth income distribution and welfare, Journal of Public Economics, 54.
［7］ Zhang, J., 1996, Optimal public investments in education, and endogenous growth, Scandinavian Journal of Economics, 98.
［8］Zhang, J.,2005, Income ranking and convergence with physical and human capital and income inequality, Journal of Economic Dynamics & Control, 29.
［9］ Chen, Hung-ju., 2005, Educational systems, growth and income distribution: a quantitative study, Journal of Development Economics, 76.
［10］ Card, D. and Krueger, A., 1992, Does school quality matter? Returns to education and the characteristics of public schools in the United States, Journal of Political Economy ,100.
［11］ Leibowitz, A., 1974, Home investments in children, Journal of Political Economy, 82.
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