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二元代数式是指含有两个变量的代数式,其中两个变量在约束条件的限制下,求二元代数式取值范围问题,因其背景(载体)形式丰富多样,涉及的知识点较多,综合性较强,故解法也较多.笔者就此类问题作了一些探究,下面分方法举例予以说明,以供大家参考.
1 函数法
评析:一般地,若能将约束条件变为用其中一个变量表示另外一个变量,代入二元代数式,就可以将二元问题转化为函数问题处理,但要注意所得新函数的定义域.
2 参数法
评析:一般地,在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时,或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时,经常便于使用曲线的参数方程,将二元变量转变为一元变量,利用三角函数的知识求解.
3 换元法
评析: 通过整体换元,将约束条件和所求问题中的二元代数式有机的联系起来,使问题得以顺利解决.
4 待定系数法
评析:若约束条件和所求问题中的二元代数式结构(形式)相同或相似时,可利用待定系数法,将所求二元代数式用约束条件中的二元代数式表示,再利用不等式的运算性质求解.
5 均值不等式法
评析:利用均值不等式是求约束条件下二元代数式取值范围的主要方法,但要注意等号成立的条件(即“一正,二定,三相等,四取等号”)必须满足,缺一不可.
6 数形结合法
对于例3可用数形结合(线性规划)的方法求解:
解析:本题的实质是:已知实数a,c满足不等式组-4≤a-c≤-1,
-1≤4a-c≤5. 求9a-c的最值,此即线性规划问题,因此可以用线性规划的方法求解.又目标函数为
f(3)=9a-c,即c=9a-f(x),作出可行域,如图2所示.由图可知,目标函数c=9a-f(x)分别在A、C处取得最小值和最大值.
由4a-c=-1,
a-c=-1. 得A(0,1),
由a-c=-4,
4a-c=5. 得C(3,7),
评析:通过数形结合,将求约束条件下二元代数式取值范围问题,转化为平面解析几何中求直线的纵截距、斜率或有关距离的最值问题.此方法呈现的是问题的本质规律和数学的内在美,具有直观、简洁的特点.
7 判别式法
评析:将动点到定直线的距离所得二元代数式的最值问题,转化为曲线与直线相切的位置关系问题,一般可用二次方程的判别式求解.
8 导数法
对于例6可用导数的几何意义求解.
解析:求椭圆上的动点到定直线的距离所得二元代数式的最小值问题,可转化为利用导数,去求椭圆上切线斜率等于已知直线斜率的切点问题.
评析:将动点到定直线的距离所得二元代数式的最值问题,转化为利用导数的几何意义,去求曲线上切于一点的切线斜率问题,此法是对求直线斜率思想方法的丰富和有益补充.
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