一次函数在最佳经济决策中的应用

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我们在各项工作中进行经济决策时，总是希望投入的费用最低、最少、最省，得到的效果最佳，利润最大、最高、最优，这就是数学中的最小值和最大值.那么，一次函数知识在最佳经济决策中的应用也极为广泛.

笔者从2012年各地中考试卷中看到，运用一次函数的知识来作经济决策的试题不断出现，成为中考的热点.这类试题明显的特征是：取材贴近生活，与经济发展、生产、生活实际密切相关.这反映出素质教育的要求，同时也反映出中考命题的走向.本文略举几例说明如下：

例1（河南省）某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套.经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元.

（1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？

（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的23，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？

解（1）设A型课桌凳每套x元，则B型课桌凳每套（x+40）元.据题意，得4x+5（x+40）=1820.解得x=180，x+40=220.

即购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需180元、220元.

（2）设购买A型课桌凳a套，则购买B型课桌凳（200-a）套.可列出不等式组a≤23（200-a），180a+220（200-a）≤40880，解得78≤a≤80.

由a取整数知，a为78，79，80.

共有3种方案.

设购买课桌凳总费用为y元，则y=180a+220（200-a）=-40a+44000.

由-40

当a=80时，总费用最低，此时200-a=120.

即总费用最低的方案是：购买A型课桌凳80套，购买B型课桌凳120套.

例2（贵州省黔西南州）某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：

（1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？

（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？

（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润.

解（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品（10-x）件，根据题意，得

x+3（10-x）=14，解得x=8.

则10-x=10-8=2.

应生产A种产品8件，则生产B种产品2件.

（2）设应生产A种产品x件，则生产B种产品为（10-x）件，根据题意，得2x+5（10-x）≤44，x+3（10-x）>14，解得2≤x

x为整数，x=2，3，4，5，6，7.

可以采用6种方案，分别为：

（ⅰ）生产A种产品2件，B种产品8件；

（ⅱ）生产A种产品3件，B种产品7件；

（ⅲ）生产A种产品4件，B种产品6件；

（ⅳ）生产A种产品5件，B种产品5件；

（ⅴ）生产A种产品6件，B种产品4件；

（ⅵ）生产A种产品7件，B种产品3件.

（3）设生产A种产品x件时，获得利润为w万元.

根据题意，得w=1·x+3（10-x）=-2x+30.

-2

w随x的增大而减小.

当x=2时，w最大，最大值为：-2×2+30=26.

因此，当生产A种产品2件，B种产品8件时，可获得最大利润26万元.

通过上述几个例题的解答中我们得到启示：求解这类问题，首先要读懂题意，往往这类题目叙述的文字比较多，只有仔细读题，先弄清题意后，才能根据题意写出两个变量之间的一次函数关系式；其次要根据实际问题确定自变量的取值范围；最后利用一次函数的增减性和自变量的取值范围确定函数的取值.如例1是要求总费用最低，还有例2是要求获得的利润最大，就是要求函数的最大值.

运用一次函数做最佳经济决策的试题，是将所学数学知识运用于解决实际问题的好题，这类试题的考查，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力，因而，希望初三师生在数学中考复习时，能够引起足够的重视.