概率与统计部分的高考试题分析

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在新课程教学中，概率与统计是最重要的知识模块之一，它是一种处理或然问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识，成为普通公民的必备常识.

概率与统计的引入，拓宽了应用问题取材的范围，是考查应用意识的良好素材.在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，每年都会出现一道概率解答题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，考查对概率事件的判断识别及其概率的计算.因此在概率解题教学中，教师要重视对各种概率模型的理解与应用，注重理解各种概率模型的特点，并且在实际问题中培养学生的识别模型的能力.本文从近三年高考数学福建卷（新课标）概率与统计考查内容（以文科为例）出发，分别分析了高考对随机抽样、用样本估计总体、古典概型、几何概型等几个知识点的考查，其中详细讨论了古典概型的教学生成.

一、考点聚焦

近三年高考数学福建卷（新课标）概率与统计考查内容分布（以文科为例）

由上面这个统计表我们可以看出每年高考数学卷中涉及到概率统计的知识内容大概在21分左右.一般由两道小题及一道解答题组成.其中解答题又大都是古典概型，其解题的关键是正确建立古典概率模型，分清概率事件中涉及到的基本事件以及事件所包含的基本事件数.

二、随机抽样

必修3中介绍了三种抽样方法：简单随机抽样、系统抽样及分层抽样.其中简单随机抽样操作简便易行，在总体个数不多的情况下行之有效；系统抽样又称等距抽样，适用于总体容量较大的情况；而分层抽样又称为类别抽样，适用于总体由差异明显的几部分组成的情况.并且这三种抽样都是等可能抽样（即每个个体被抽到的可能性都相等）.

例1：（2011年高考数学福建卷文科第4题）：某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）.

A.6 B.8 C.10 D.12

此题考查学生对分层抽样这个基础知识的理解掌握.如果清楚分层抽样是等可能抽样（即每个个体被抽到的可能性都相等），与层数及分层都没有关系，那么这道题就很容易得出答案B.实际上高中阶段讨论的三种抽样（简单随机抽样、分层抽样、系统抽样）都是等可能抽样（即每个个体被抽到的可能性都相等），因此我们也可以狭义的认为我们只研究等可能抽样.

三、用样本估计总体

必修3中介绍了两种估计：一种是用样本的频率分布估计总体的分布；另一种是用样本的数字特征（如平均数、标准差等）估计总体的数字特征.

例2（2009年高考数学福建卷文科第3题）：一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：

则样本数据落在上的频率为（ ）.

A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.649.

例3（2010年高考数学福建卷文科第9题）：若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）.

A.91.5和91.5 B.91.5和92

C.91和91.5 D.92和92

例4（2010年高考数学福建卷文科第14题）：将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于.

这三题都是考查学生对用样本频率分布估计总体频率分布这个基础知识的理解掌握.例2要求学生知晓样本的频率和为单位1，答案应选C；例3要求学生掌握样本平均数与中位数的概念，答案应选A；例4要求学生掌握样本数据的频率分布及对应的频率计算，答案是60.

四、古典概型

古典概型的特点：一是试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；二是每个基本事件出现的可能性相等.

古典概型概率公式：P（A）= .

2009年到2011年高考数学福建卷文科中的古典概型题目：2009年高考数学福建卷文科第18题，2010年高考数学福建卷文科第18题，2011年高考数学福建卷文科第19题.显然，自新课标开始以来连续三年高考数学福建卷文科中涉及的统计概率的解答题都是古典概型，可见古典概型的重要性，下面我就从必修3中的一道例题出发探讨一下这个知识点的课堂生成.

例5（必修3古典概型例3）：同时掷两个骰子，计算：

（1）一共有多少种不同的结果？

（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？

（3）向上的点数之和是5的概率是多少？

教师：请同学们思考问题（1），然后请两位学生到黑板上写出他们的结果.

学生A：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）.

学生B：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，4）（4，5）（4，6）（5，5）（5，6）（6，6）.

教师进行巡视调查与析疑，发现学生的答案基本上就这两种结果，一种是有36个结果的，一种是只有21个结果的.主要原因是对古典概型的概念认识不到位引起的错误.

教师：黑板上两位同学对这道题目有两种不同的认识，那么谁对呢？都对吗？原因何在？下面我们继续对这个问题的下面两问进行解答.根据A同学给出的36种结果，向上的点数之和为5的结果有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）共4种，那么由古典概型的概率计算公式可得P（A）= ；而根据B同学给出的21种结果，向上的点数之和为5的结果有（1，4）（2，3）共2种，那么由古典概型的概率计算公式可得P（A）= .两种解法的计算结果不一样，说明肯定有一种是错的，那么到底是哪种认识错误呢？又错在哪里呢？下面同学们一起讨论，寻找原因所在.

学生C：两种解法都是在建立古典概型后用概率公式计算的，是因为同时掷两个骰子可能出现的所有结果（基本事件）是有限个的.

教师：都是建立古典概型，那么为何计算结果不同呢？原因出在哪？

学生D：古典概型除了一次试验可能出现的基本事件是有限个这个特点外，还要满足每个基本事件出现的可能性相等.而B同学构造的21个基本事件不是等可能发生的.

教师：哦，原来问题出在这里啊.D同学对古典概型的认识很正确.那么通过这道题我们要明确从实际问题出发建立古典概型解决实际问题需要注意些什么呢？

学生E：我认为，是不要一看到试验包含的基本事件是有限个马上就用古典概型的公式求概率，特别还要验证“每个基本事件出现是等可能的”这个条件，否则计算出的概率将是错误的.

根据前面两位学生对问题（1）的不同解法，教师引导学生分析原因，发现解题中存在的问题.通过分析原因、解决问题，让学生体会古典概型的思想，加深对古典概型的认识，从而提高将具体问题抽象化，形象化，正确建立古典概型的能力.

五、几何概型

几何概型的特点：一是试验中所有可能出现的基本事件有无穷多个；二是每个基本事件出现的可能性相等.

几何概型概率公式：

P（A）= .

例6（2009年高考数学福建卷文科第14题）：点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为 ；

例7（2011年高考数学福建卷文科第7题）：如图，矩形ABCD中，点E为边CD的重点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于（ ）.

A. B. C. D.

使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用的条件：每个事件发生的概率只与构成该事件的区域长度（面积或体积）成比例.上面例6体现的就是构成事件区域长度的比例关系，答案是 ；而例7则体现构成事件区域面积的比例关系，答案C.解题的根本是正确建立概率模型，而建模的根本是几何概型的概念.

由于高考对概率与统计的考查，大都是以实际应用题模式出现，所以老师们要提醒考生重视对各种概率模型的理解，建立概率模型，有意识地运用所学的概率模型去解决生产、生活中的实际问题，以便从中学习将实际问题转化成概率问题的方法，从而提高建模能力.