“三定”反思在数学解题中的应用
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杜威认为：“反思是一种特殊的思维形式，它起源于主体在活动情境过程中所产生的怀疑和困惑，是引发有目的的探究行为和解决情境问题的有效手段．” 荷兰著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使学生的现实世界数学化”，“没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平．”［1］美籍数学教育家波利亚也说：“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面．”［2］曹才翰先生也认为：“培养学生对自己的学习过程进行反思的习惯，提高学生的思维自我评价水平，这是提高学习效率，培养数学能力的行之有效的方法．”［3］
数学解题反思是学习者在数学解题活动中对自己解题过程的自我意识、自我监控和自我调节的一种元认知过程．它以反思的技能为基础，并在对数学解题过程的反馈、调节、评价和修正中显示出来．数学解题反思不仅是对解题的一般性回顾，而是深究数学解题活动中所涉及的数学知识、解题思路 、解题方法、策略等，反思的目的也不仅仅是为了回顾过去，或培养元认知意识，更重要的是指向未来的活动，是为了更好地提高解题能力．
在数学解题活动中，可以引导学生进行“三定”反思，即 “定向”反思、“定序”反思及“定论”反思，其过程如图1 如示：
“定向”反思，指对数学问题总体方向的反思，它是根据题目信息、解题目标和已有的解题经验对解题方向选择的反思．
“定序”反思，指对数学问题解决的方法、策略、步骤和程序的反思．
“定论”反思，指在解题后对解题结果与解题目标是否一致以及对结论的进一步引申拓展的反思．
从解题方向的确定到解题计划的实施，最后到解题目标的实现，整个思维过程是一个有机的整体，对思维全程的调控就要从思维的各个环节的反思入手．通过对解题各个阶段进行反思，有利于克服盲目性，避免误入歧途，减少失误．
通过“定向”反思，找到了解题方向；再通过“定论”反思，得到了形变而质不变的变式题．由此可帮助学生透彻地理解概念，建立起良好的认知结构，便于进行知识、技能或方法策略的直接迁移，从而使学生触类旁通，学会学活数学知识，利于提高学生的解题能力．
通过“定序”反思，找到了不同的解题思路和方法；再通过“定论”反思，发现了新的命题．从中也可看到数学证明的教育价值：从文化的角度来看，让学生体会数学的理性精神，懂得理性地思考问题；从知识的角度来看，证明能加深学生对概念和定理的理解，并能导致新的发现；从思维角度来看，证明能训练和培养学生的逻辑和非逻辑的思维能力．
［反思］解决求已知圆的切线问题的基本思路有两个：第一，从代数角度分析，就是由圆和直线的方程所组成的方程组应有唯一解，用方程的思想加以解决；第二，从几何角度分析，就是利用圆心到直线的距离等于半径或直线垂直于过切点的半径，然后通过坐标法，转化为计算问题而加以解决．对不同的题设条件，两种解题思路可使计算的难易程度截然不同．
学生在解决问题时，往往只满足于找出解决问题的策略，而对策略的优劣却从不加评价，这是学生思维缺乏灵活性、批判性的表现．例5通过“定序”反思，通过分析并比较这两种解法的优劣，可让学生在比较中反思，从而优化解题策略．
［反思］从心理学角度看，数学思想方法属于策略性知识范畴；从知识的角度来看，数学思想方法是数学知识的有机组成部分，是数学知识的灵魂；从技能的角度来看，数学思想方法是进行智力操作的策略手段．它蕴含于数学知识与技能当中的，需要结合数学知识技能的教学来进行教学．学生在解题过程中，如果只是根据问题的具体情境来确定解决问题的方法，不对蕴含于题中的数学思想方法进行提炼、概括，那么这仅仅停留在对某一具体问题解决的层面上．鼓励学生在获取知识后反思解题过程，引导他们在思维策略上回顾总结，分析具体问题解决过程中包含的数学思想方法，经历和体悟观察―联想―转化―反思的解题过程．
通过“定序”反思，引导学生在概括中反思，提炼出解题中所用到的数学思想方法：化归的思想、数形结合思想等．通过在概括中反思，提炼出数学思想方法，使学生不但能够积累丰富的解题经验，更重要的是能够不断地拓展自己的思维，更好地培养学生的解题能力．
教学实践表明，“三定”反思可以提高学生的数学解题意识，优化学生的思维品质．通过“三定”反思可以深化对数学问题的理解，优化思维过程，揭示问题本质，探索一般规律；通过“三定”反思可以沟通数学知识的新旧联系，促进知识的同化和迁移．在数学解题教学中有意识地引导学生学会积极的解题反思，是教会学生学会学习数学，培养学生数学解题能力的行之有效的方法．
参考文献
1 ［荷兰］弗赖登塔尔著，陈吕平译.作为教育任务的数学［M］.上海：上海教育出版社,1995
2 ［美］波利亚著，阎育苏译.怎样解题［M］.北京：科学出版社,1984
3 曹才翰，章建跃.数学教育心理学［M］.北京：北京师范大学出版社,1999
4 黄尉.培养学生反思能力的实践与认识［J］.数学通报.2005［44(11)］
5 曹一鸣.略论数学反思能力的培养［J］.中学数学教学参考.2004(9)
6 黄学波.数学解题“五观”［J］.数学教学通讯,2005(11上半月）
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