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每年的中考都要求题目新颖,命题者煞费心机寻找出题亮点,其中定义新运算已成为中考命题趋势之一。现略举几例如下:
一、 与概率有关的新概念
例1 “上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数(如:34,568,2 469等).任取一个两位数,是 “上升数”的概率是.(2008.山东)
【分析】该题可用列举法,对照“上升数”的定义,统计两位数中“上升数”的个数。
解:两位数共有90个,其中12~19,23~29,34~39,45~49,56~59,67~69,78~79,89共36个是“上升数”。
所以“上升数”的概率是3690=25。
二、 与一次函数有关的新概念
例2 定义[p,q]为一次函数y=px+q的特征数.
(1) 若特征数是[2,k-2]的一次函数为正比例函数,求k的值;
(2) 设点A,B分别为抛物线y=(x+m)(x-2)与x,y轴的交点,其中m>0,且OAB的面积为4,O为原点,求图象过A,B两点的一次函数的特征数.(2008.浙江)
【分析】(2) 求一次函数的特征数其实就是求出解析式。
解:(1) 特征数为[2,k-2]的一次函数为y=2x+k-2,
k-2=0, k=2.
(2) 抛物线与x轴的交点为A1(-m,0),A2(2,0),
与y轴的交点为B(0,-2m).
若SOBA1=4,则12・m・2m=4,m=2;
若SOBA2=4,则12・m・2m=4,m=2,m=2.
当m=2时,满足题设条件.
抛物线的解析式为:y=(x+2)(x-2).
x轴的交点为(-2,0),(2,0),与y轴的交点为(0,-4),
一次函数为y=-2x-4或y=2x-4,
特征数为[-2,-4]或[2,-4].
三、 与方程有关的新概念
例3 在实数范围内定义运算“”,其规则为:ab=a2-b2,则方程(43)x=13的解为x=.(2008.孝感)
【分析】根据运算规则,将(43)x=13转化为一元二次方程,求出方程的解即可。
解:原方程可化为:7x=13
即:49-x2=13
x1=6, x2=-6.
例4 符号“ab
cd”称为二阶行列式,规定它的运算法则为:ab
cd=ad-bc,请你根据上述规定求出下列等式21
11-x1x-1=1中x的值.(2008.达州)
【分析】根据运算规律将行列式转化为分式方程,解出分式方程即可。
解:21
11-x1x-1=1
整理得:2×1x-1-11-x=1
2x-1+1x-1=1
解之得:x=4
经检验:x=4是原方程的解。
四、 与探索规律有关的新概念
例5 有一个运算程序,可以使:ab=n(n为常数)时,得(a+1)b=n+1,a(b+1)=n-2现在已知11=2,那么20082008=.(2008.茂名)
【分析】由题意可得运算规律为:a的值每增加1,结果增加1;b的值每增加1,运算结果减少2.
解:因为11=2,
所以20081=2009
20082008=2009-2×2007=-2005.
例6 定义:a是不为1的有理数,我们把11-a称为a的差倒数.如:2的差倒数是11-2=-1,-1的差倒数是11-(-1)=12.已知a1=-13,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数,……,依此类推,则a2009=.(2008福建南平)
【分析】依次计算,找出循环的规律。
解:a1=-13,a2=11+13=34,a3=11-34=4,
a4=11-4=-13,a5=11+13=34,a6=11-34=4,…
其循环节是3,所以a2009=a2=34.
【试一试】
1. 对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定:当a=c,b=d时,有(a,b)=(c,d);运算“”为:(a,b)(c,d)=(ac,bd);运算“”为:(a,b)(c,d)=(a+c,b+d).设p、q都是实数,若(1,2)(p,q)=(2,-4),则(1,2)(p,q)=.(2008.宿迁)
2. 在实数的原有运算法则中,我们补充新运算法则 “ * ” 如下:当a≥b时, ;当a
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