寻找临界点的两种有效方法

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带电粒子在有界磁场中运动的临界问题是学习过程中一个难点，学生感到不知如何下手。寻找临界点是关键，下面介绍两种有效方法

1轨迹圆的缩放：当粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆心一定在入射点所受洛伦

兹力所表示的射线上，但位置(半径R)不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中即可发现“临界点”。

例1如图，电子源S能在图示纸面上360°范围内发射速率相同的电子(质量为m、电量为e)，MN是足够大的竖直挡板，与S的水平距离OS=L，挡板左侧是垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。要使发射的电子能到达挡板，电子速度至少为多大?

析与解据洛伦兹力提供带电粒子做匀速圆周运动的向心力，可得粒子做圆周运动的轨道半径r=mvqB，由该式可知，使电子到达挡板的最小发射速度，对应其有最小的轨道半径，哪一段长度是最小半径，必须通过电子运动的轨迹来确定。电子到达挡板的某一点，则以该点和发射点S连线为直径的轨迹圆对应的发射速度必最小，并且这一最小的发射速度随直径的减小而减小，因SO为诸直径中的最小直径，故电子能到达挡板的最小轨迹圆如图所示。因题目未明确电子到达挡板上的哪一点，只要求电子能到达挡板，所以，图所示轨迹对应的电子发射速度即为所求，显然

2轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转(作图)中，也容易发现“临界点”。

例2据有关资料介绍，受控热核聚变反应装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的容器可装，而是由磁场约束带电粒子运动将其束缚在某个区域内。现按下面的简化条件来讨论这个问题：如图所示，有一个截面内半径为R1=0．5m、外半径为R2=1.0m的环状区域，区域内有垂直于纸面向里的磁场。已知磁场的磁感应强度B=1．0T，若被束缚的粒子的荷质比为qm=4．0×107C／kg，不计带电粒子的重力。中空区域中带电粒子具有各个方向的速度，试计算：

(1)粒子沿环的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度；

(2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度。

析与解(1)该题背景取自受控热核反应，故被磁场约束的粒子为原子核，带正电。在磁场内边界上任取一点A，从A点沿径向射入磁场的粒子因速度不等而做半径不等的圆周运动，圆心均在过A点的切线上。将圆心从距A较近的位置逐渐向外移动，作一些半径渐大的圆，就会发现与磁场外边界内切于B点的轨迹圆OO′为粒子不能穿越磁场的最大轨迹圆(如图所示)，其对应的速度即为粒子不能穿越磁场的最大速度。找到了OO′，据几何知识可求得其半径，r=0．375m，对应的速度v=1．5×107m／s。

(2)因“中空区域中带电粒子具有各个方向的速度”，就必须对从A点沿不同方向进入磁场区域且不穿越磁场的最大轨迹圆进行比较，其中最小的轨迹圆对应的速度才为所有粒子不能穿越磁场的最大速度。为此，可先作出沿A点切线以v1速度进入磁场的粒子的最小轨迹圆O1，再将粒子入射的速度方向逆时针转动，取几个方向作出对应的最大轨迹圆，直至作出沿A点切线以v2速度进入磁场的粒子的最大轨迹圆O2(如图所示)。作图中可发现最大轨迹圆的半径越来越大，最终锁定OO1的半径最小，进而算得r1=0．2 5m，v1=1×107m／s，这一速度即为所有粒子不能穿越磁场的最大速度。

例3在例1中若S发射的电子速率为eBLm时，挡板被电子击中的范围有多大?

析与解由例1问得知，对应轨迹半径为L2的电子，其发射速率为eBL2m，现电子的速率为eBLm，则轨迹半径r=L。以O为圆心、L为半径作O，如图所示，O代表了速率v=eBLm的电子轨迹圆的大小。设想发射速度v的方向作顺时针转动，则O也要绕S点作顺时针转动，则当O转到O1位置时，O1与挡板相切于P点，P点即为电子击中挡板的最低位置。

继续顺时针转动O，当转到O2位置时，O2与挡板相交于Q点，SQ为O2的直径，则Q点即为电子击中挡板的最高位置。因P、Q两点之间的区域均能被电子击中，故挡板被电子击中部分的长度PQ=(1+3)L

以上两种方法在解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题时是非常有效的，可以解决学生学习时的困难，同时要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、直观。

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