两圆方程相减后所得直线与两圆的位置关系

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在高中数学必修2的学习中知道，如果两圆相交，把两圆的方程相减所得到的直线表示两圆公共弦所在直线方程。有的同学就提出：如果两圆不相交，两圆方程相减照样可以得到一条直线，这条直线的几何意义是什么？与两圆的位置关系又如何呢？因而我就两圆的5种位置关系进行讨论直线的几何意义和直线与两圆的位置关系。

两圆方程直线两圆连心线两圆相交

一、直线与两圆连心线垂直

二、两圆相交时，直线的几何意义就是公共弦所在直线

三、两圆相切（内切或外切）时，直线的几何意义就是两圆的过同一切点的公切线

四、两圆相离或内含时，直线的几何意义是到相离两圆的切线长相等的点的轨迹

五、结论

1、直线与两圆连心线垂直。

2、两圆相交时，直线的几何意义就是公共弦所在直线。

3、两圆相切（内切或外切）时，直线的几何意义就是两圆的过同一切点的公切线。

4、两圆相离或内含时，直线的几何意义是到相离两圆的切线长相等的点的轨迹。

六、用上述结论解题

研究了上述问题后，对于解析几何上的某些问题特别是有关直线与圆的问题有很大的指导意义。下面以几道解析几何题来说明。

说明：第（1）题中，两圆的公共弦所在直线就是过两圆交点的直线。一般的方法是：先由两圆的方程求出它们的交点坐标，然后由两点式求出过两圆交点的直线方程。但是，这里两圆相交，如果根据推论一，可易得所求直线方程为2x+6y-3=0。

第（2）题中，首先可由两圆的方程求出它们的切点坐标，然后由两圆的圆心坐标确定切线的斜率，由点斜式可求出过两圆切点的公切线方程。但是，这里两圆外切，如果根据推论二，可易得所求直线方程为3x-4y-3=0。

第（3）题中，可设出所求直线方程的斜截式y=kx+b，先由所求直线与两圆心连线垂直确定斜率k，再由点P引两圆的切线长相等进而确定b的值。但是，这里两圆外离，如果根据推论三，易得所求直线方程为11x-6y+3=0。

参考文献：

[1]中等数学.2004，（01）.

[2]数学通报.2006，（11）.

[3]数学通讯.2005，（8）.

[4]圆周的幂与根轴.