四边形的一个“稳定”性质的探索及教学运用

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笔者曾遇到这样一道题目：

已知空间四点A,B,C,D,满足|AB|=3,|BC|=7,|CD|=11,|DA|=9,则AC•BD的取值有( ).

A.只有一个 B.有两个

C.有四个 D.无法确定

本题的答案是A,且AC•BD=0.这不禁引起笔者的一个疑问：虽然四边形的四条边长是确定的,但是四边形的形状却是可以变化的,即所谓的四边形的不稳定性,但是为什么在形状的改变过程中AC•BD的取值却是“稳定的”呢？对于一个一般的四边形来说是否也存在类似的性质呢？本题的源头又是什么？为此笔者用超级画板进行了如下探究：

为了便于改变四边形的形状,作B,D两自由点,以B为圆心分别以3与7为半径作两圆,然后以D为圆心分别以9,11为半径再作两圆,取两交点分别为A,C(如图1),测量向量AC与BD,计算AC•BD,此时AC•BD=0.拖动点B或点D发现AC•BD的值始终是0,并不随四边形ABCD的形状的变化而改变．

改变了其中一条边的长度,令|BC|=8(如图2),突然发现此时AC•BD由原先的0变成了7.50,拖动点B改变四边形形状发现AC•BD的值始终是7.50,没有发生变化!

由此笔者猜想：在四边形ABCD的四条边长都是已知值的情况下,虽然四边形是不稳定的,但是AC•BD肯定是一个定值,只与四条边的长度有关．

经过探索得到了下面的命题：

如图3,已知四边形ABCD的四条边长|AB|=a,|BC|=b,|CD|=c,|DA|=d,求证

AC•BD=(b2+d2)-(a2+c2)2．

证明 因为AD=BD-BA,CD=BD-BC,

所以AD2=BD2-2BD•BA+BA2,CD2=BD2-2BD•BC+BC2

即d2=BD2-2BD•BA+a2(1)

c2=BD2-2BD•BC+b2 (2)

(1)-(2)得

d2-c2=2(BD•BC-BD•BA)+a2-b2

化简得d2-c2-a2+b2=2BD•(BC-BA)=2BD•AC

所以AC•BD=(b2+d2)-(a2+c2)2．

当b2+d2=a2+c2时AC•BD=0,ACBD,反之若ACBD则b2+d2=a2+c2．

由此又得到下面的推论：

已知四边形ABCD的四条边长|AB|=a,|BC|=b,|CD|=c,|DA|=d,对角线AC与BD互相垂直的充要条件是b2+d2=a2+c2．

如果仅仅是上述的一个探索,意义也许一般,因为它只是一个老师的兴趣探索,如何将它用于教学,改造成一个探索型教学的例子,更能体现其价值.为此,我们设计了如下探索型实验教学,让学生利用画板尝试、探索、猜想、论证,提高学生的合情推理能力：

(1)在超级画板上,作四边形ABCD,使之满足|AB|=3,|BC|=7,|CD|=11,|DA|=9,测量AC•BD的值是多少？

(2)小组交流,你发现了什么？值都相同你认为这是自然或必然的吗？让学生认识到,尽管边长一定,但不同同学画出的四边形一般是不同的,因为四边形不具有稳定性.

(3)四边形的这个“结论”具有一般规律吗？再探讨一个：作四边分别为AB=2,BC=3,CD=4,DA=5的四边形ABCD,测量AC•BD的值是多少？

(4)把你的发现一般化,探究在边长分别为|AB|=a,|BC|=b,|CD|=c,|DA|=d的四边形ABCD中,AC•BD=？引导学生从特殊到一般逐步逼近式地考察.

(5)总结,引导证明.

教师经常会做一些初等数学的探索研究,如果将这些研究改造用于探究式教学或数学实验,将是非常好的教学资源,更能实现教师的初等数学研究的价值.