“正难则反”的解题策略

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解题时，由条件到结论的正向思考是常用的思考方法，但有些问题按照这种顺推的思维方式很难得到解决，即正面解决有困难.此时不妨改变思维方向，从反面入手，往往能事半功倍，这就是“正难则反”.

一、排除法

例1.已知y=log（2-ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（ ）

A. （0，1） B. （1，2） C. （0，2） D. （2，+∞）

分析：本题是关于复合函数单调性的综合题，由于设问角度新颖别致，因而正面求解较为困难.我们可以从选择项入手.

若a∈（0，1），则y=logx和y=2-ax都是减函数，由复合函数性质可知y=log（2-ax）是增函数，与题设矛盾，故可排除A，C.

若a∈（2，+∞），取a=10，则y=log（2-10x）在［0，1］上有时无意义，从而排除D，故选B.

例2.不等式组x＞0＞?摇的解集是（ ）

A. {x|0＜x＜2} B. x|0＜x＜

C. {x|0＜x＜} D. {x|0＜x＜3}

分析：若直接解不等式组，则耗费大量的时间仍难得其解时，内心的焦虑慌乱很可能导致考试的溃败.观察选项可知2＜＜＜3，将x=2与x=代入第二个不等式检验，得x=2适合，而x=不适合，故应选C.

二、补集法

例3.四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）

A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种

分析：本题直接解较难，宜从反面入手，先找出取四点能共面的不同取法种数，然后用补集得出结果.该10个点取四个能共面的点可分三类，其中每个面上6个点中任取4点能共面，即有4C种，又每条棱上三点和对棱中点共面，即有6种，又对棱中点共面有3种情况，所以从这10点中取4个不共面的点，不同取法有C-4C-6-3=141种，故选D.

例4.试求常数m的范围，使曲线y=x的所有弦都不能被y=m（x-3）垂直平分.

分析：“不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称，问题转化为“抛物线上存在两点关于直线y=m（x-3）对称，求m的取值范围”，再求出m的取值集合的补集即为原问题的解.

解：抛物线上两点（x，x），（x，x）关于直线y=m（x-3）对称，满足=m（-3）=-

所以x+x=m（x+x-6）x+x=-

消去x，得：2x+x++6m+1=0

x∈R

=（）-8（+6m+1）＞0

（2m+1）（6m-2m+1）＜0

m＜-

即当m＜-时，抛物线上存在两点关于直线y=m（x-3）对称，而原题要求所有弦都不能被直线垂直平分，则所求m的范围为m≥.

三、反面入手的分析法

例5.设二次函数f（x）=ax+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x，x满足0＜x＜x＜，

（Ⅰ）当x∈（0，x）时，证明：x＜f（x）＜x;

（Ⅱ）设函数f（x）的图像关于直线x=x对称，证明：x＜.

分析：本题从条件出发，总觉得无从入手，不妨从结论出发，寻找结论成立的充分条件.

证明：（Ⅰ）欲证：x＜f（x）＜x

只需证：0＜f（x）-x＜x-x

即证:0＜a（x-x）（x-x）＜x-x

两边同除以正数a（x-x）

只需证：0＜x-x＜

而这可由已知条件0＜x＜x＜x＜推得，所以结论成立.

（Ⅱ）欲证:x＜

只需证:x-＜0

由于x=-，x+x=-

因此只需证：--（--x）＜0

即证:（x-）＜0

而这由已知条件可知，显然成立，所以命题得证.

四、反证法

例6.设f（x）=x+ax+b，求证：|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|中至少有一个不小于.

分析：由这一例题的结论可知这是一个证明不等式的问题，因用其他常规方法证明有困难，所以采用反证法加以证明.

证明：假设|f（1）|＜、|f（2）|＜、|f（3）|＜，则有-＜1+a+b＜-＜4+2a+b＜-＜9+3a+b＜

于是有-＜a+b＜--＜2a+b＜--＜3a+b＜-

由前两式，得:-4＜a＜-2

由后两式，得:-6＜a＜-4

这两式显然互相矛盾，所以假设不成立，所以原命题正确.

注意：凡是遇到“至少”“至多”“唯一”或含有否定词的命题证明时，多用反证法.

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