几何直观在处理复杂问题简单化中的有效运用

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教师在理解几何直观时，要注意以下几个问题：第一，几何直观指的是通过“几何”的手段，达到“直观”的目的，实现“描述和分析问题”的目标。这里的“几何”手段主要是指“利用图形”，“直观”的目的主要是将“复杂、抽象的问题变得简明、形象”。因此，几何直观对学生而言是一种有效的学习方法，对教师而言是一种有效的教学手段，它是数形结合思想的体现，在整个数学学习过程中发挥着重要作用。第二，几何直观所利用的“图形”主要是指点、线、面、体以及由以上四要素组成的其他几何图形，在小学阶段主要有正方形、长方形、三角形、平行四边形、梯形、圆，以及线段、直线、射线等。几何直观所要描述和分析的问题，不仅可以是生活问题，而且可以是数学问题。第三，几何直观的意义和价值主要体现在三个方面：一是有助于把复杂、抽象的问题变得简明、形象，二是有助于探索解决问题的思路并预测结果，三是有助于帮助学生直观地理解数学。

一、合情推理，计算教学中几何直观的运用

小学的数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，借助图形的直观性将抽象的数学概念、运算等形象化、简单化，给学生以直观感，让学生以多种感官充分感知，让学生对几何直观的“威力”多一些感性的体验。

【案例一】速算中的十位相同的两位数乘法，如“15×17”，其口诀为：1. 首数相乘10×10；2. 尾数相加的和乘首数（5+7）×10；3. 尾数相乘5×7；4. 三个得数相加。许多学生只是在背口诀，或者跟列竖式对照，只知其一，不知其二。如果用求长方形面积的方法辅助理解那么将会得到事半功倍的效果。

正方形a的面积：10×10=100；

长方形b+c的面积：（5+7）×10=120；

长方形d的面积：5×7=35；

所以，总的面积：100+120+35=255。

这种方法体现了在形成表象的基础上理解数学计算的本质，体现了知识间是相通的，把计算和空间形式联系起来，不但缩短了知识间的距离，而且还减少记忆容量。“在传统领域之间界限的日趋消失是现代数学的特性之一，而几何直观在其间起着联络作用。”某些问题的信息之间，某个知识块之间，代数与几何之间，几何直观使复杂多样的知识变得简单明了。

【案例二】比较下面两个积的大小：A=987654321×123456789，B=987654322×123456788。

大多数学生都是利用乘法分配律来解答的，过程很繁琐：A=123456789×987654321=（123456788+1）×987654321=123456788×987654321+987654321；B=123456788×987654322=123456788×（987654321+1）=123456788×987654321+123456788，所以，A>B。

如果我们能够从几何的角度出发，大胆进行合情推理，把这几个数想成长方形的长和宽，积就是面积，那么，当长方形的周长一样时，形状越接近正方形，它的面积就越大。则有：因为987654321+123456789=987654322+123456788，又987654321-123456789B。

这种思维就体现出了整体性、跳跃性和创造性。在这里，几何直观显示了强大的思维力量，通过类比和联想，将数学的不同领域联系在一起，体现了差异与统一的转化。数学是抽象的、形式化的，学生学习数学更多的是根据数据进行精确的计算。而几何直观可以跳开计算，直接获得答案。本质上，几何直观塑造的是学生认识外界的思维品质和多元的认知方式。在这个过程中，合情推理就显得极为重要。

二、以形助数，解决问题中几何直观的运用

借助“形”的直观，能促进学生形成从“数”和“形”的角度把“数和形”结合起来考虑问题的意识，有机渗透数形结合这一重要的数学思想。

【案例三】甲乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，按预定速度他们将在下午5时在途中相遇，如果他们每人每小时都比预定速度快1千米，则可在下午4时相遇，如果他们每人每小时都比预定速度慢1.5千米，则要在下午7时相遇，A、B两地的距离是（）千米。

分析：这道行程问题数量关系隐蔽，用算术法解答不容易理解。我们分析：用长方形图帮助分析。

黑色（中）长方形面积（C+D+B+F）表示按原速度行走的路程，红色长方形面积（C+D+E）表示以每小时加快2千米的速度行走的路程，蓝色长方形面积（A+B+C）表示以每小时少走3千米的速度行走的路程，由于黑色长方形面积=红色长方形面积=蓝色长方形面积，则C+D+B+F=C+D+E=A+B+C，可得A+B=D+E=D+B+F，又得B+F=E，D+F=A。

解：设准时到达的时间为x小时，依据原速度减3千米等于减速后的速度，则：

2（x-1）-3=3x÷2

解得x=10

所以路程是（3×10÷2）×（10+2）=180（千米）

通过图形的直观性质将抽象的数量关系形象化、简单化，实现数学问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题过程简捷明了，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。借助几何直观进行教学，可以形象生动地展现问题的本质，有助于促进学生的数学理解。在有机渗透数学思想方法的同时，提高学生的思维能力和解决问题的能力。几何直观图形的使用，不但可以帮助学生发现并理解数学结论，而且有利于掌握数学发现的方法，有利于培养学生的观察能力和空间观念。

三、想象和顿悟，数学广角中几何直观的运用

【案例四】五（1）班举行一次数学竞赛，共有15道题。做对一题得10分，做错一题倒扣4分。小明15道题全做了，但只得了94分，他做对了几题？

我们可以画这样一个面积图：用A表示做对题所得总分，用B表示做错题所扣总分。

这样，就可知道A-B=94，（A+C）-（B+C）=94。B+C=15×4=60，所以A+C=154，A+C所组成的长方形宽是14，则长为154÷14=11，即为做对题数。

利用直观的图形，学生能积极地思考图中正方形的面积的变化和数量之间的联系。在此基础上用数学式子表达它的规律。

几何通常被喻为“心智的磨刀石”，几何在数学研究中起着联络、理解，甚至提供方法的作用。数学中的许多问题，其灵感往往来自于几何直观。借助几何直观、几何解释，能启迪思路，帮助我们理解和接受抽象的内容和方法；抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考的机会，揭示经验的策略。创设不同的数学情境，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程。

（作者单位：福建省福州教育学院附属第四小学本专辑责任编辑：王彬）