函数及导函数的对称性问题

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摘 要：函数及导函数的对称性问题，是高考的重点、也是难点问题，为此我要谈谈我的看法。

关键词：函数；导函数；对称性

函数是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性以及和导函数的对称性这几个方面来探讨函数与对称有关的问题。

1.函数自身的对称性

定理1 函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f（a-x）=f（a+x）即f（x）=f（2a-x），证明（略）。

推论 函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）

定理2 函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（a-x）+f（a+x）=2b即f（x）+f（2a-x）=2b。

推论 函数y=f（x）的图像关于原点O对称的充要条件是f（-x）+f（x）=0即f（-x）=-f（x），偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。

定理3 ①若函数y=f（x）的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2a-b是其一个周期。

②若函数y=f（x）的图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2a-b是其一个周期。

③若函数y=f（x）的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4a-b是其一个周期。

以下给出③的证明，①②的证明留给读者。

因为函数y=f（x）的图像关于点A（a，c）成中心对称，所以f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：f（2b-x）+f[2a-（2b-x）]=2c（*）

又因为函数y=f（x）的图像关于直线x=b成轴对称。所以f（x）=f（2b-x）代入（*）得：f（x）=2c-f[2（a-b）+x]，用2（a-b）+x代x得f[2（a-b）+x]=2c-f[4（a-b）+x]，代入（**）得：f（x）=f[4（a-b）+x]，故y=f（x）是周期函数是周期函数，且4a-b是其一个周期。

2.不同函数对称性的探究

定理4 函数y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图像关于点Aa，b成中心对称。

证明：设点Px0，y0是y=f（x）图像上任一点，则y0=f（x0）。点Px0，y0关于点Aa，b的对称点为P′2a-x0，2b-y0，此点坐标满足y=2b-f（2a-x），显然点P′2a-x0，2b-y0在y=2b-f（2a-x）的图像上。

同理可证：y=2b-f（2a-x）图像上关于点Aa，b对称的点也在y=f（x）的图像上。

推论 函数y=f（x）与y=-f（-x）的图像关于原点成中心对称。

定理5 函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图像关于直线x=a成轴对称。

证明 设点Px0，y0是y=f（x）图像上任意一点，则y0=f（x0）。点Px0，y0关于直线x=a的对称点为P′2a-x0，y0，显然点P′2a-x0，y0在y=f（2a-x）的图像上。

同理可证：y=f（2a-x）图像上关于直线x=a对称的点也在y=f（x）图像上。

推论 函数y=f（x）与y=f（-x）的图像关于直线y轴对称。

定理6 ①函数y=f（x）与a-x=f（a-y）的图像关于直线x+y=a成轴对称。

②函数y=f（x）与x-a=f（a+y）的图像关于直线x-y=a成轴对称。

现证定理6中的②

设点Px0，y0是y=f（x）图像上任意一点，则y0=f（x0）。点Px0，y0关于直线x-y=a的对称点为P′x1，y1，则x1=a+y0，y1=x0-a，所以x0=y1+a，y0=x1-a代入y0=f（x0）之中得x1-a=f（a+y1）。

所以点P′x1，y1在函数x-a=f（a+y）的图像上。同理可证：函数x-a=f（a+y）的图像上任一点关于直线x-y=a的轴对称点也在函数y=f（x）的图像上。

故定理6中的②成立。

推论 函数y=f（x）的图像与x=f（y）的图像关于直线x=y成轴对称。

3.函数与导函数的对称性

已知函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），

定理7 若函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）中心对称，则y=f′（x）关于直线x=a轴对称；若函数y=f（x）的图像关于直线x=a轴对称，则y=f′（x）关于点A（a，0）中心对称。

证明：因为函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称，所以有f（a-x）+f（a+x）=2b，求导得：-f′（a-x）+f′（a+x）=0，

即y=f′（x）关于直线x=a轴对称；因为函数y=f（x）的图像关于直线x=a轴对称，所以有f（a-x）=f（a+x），求导得：-f′（a-x）=f′（a+x）即y=f′（x）关于点A（a，0）中心对称

推论 奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数

定理8 若函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图像关于直线x=a轴对称，且函数y=f（x）在x=a处有定义，则y=f（x）关于点A（a，f（a））中心对称。

证明：因为函数y=f′（x）的图像关于直线x=a轴对称，所以有f′（a-x）=f′（a+x），由此得：-f（a-x）=f（a+x）+2c（其中c为常数），即f（a+x）+f（a-x）=-2c，即y=f（x）关于点A（a，-c）中心对称，把f（a+x）+f（a-x）=-2c中的x替换为0可得f（a）=-c，所以y=f（x）关于点A（a，f（a））中心对称。

4.函数对称性应用举例

例1 定义在R上的非常数函数满足：f（10+x）为偶函数，

且f（5-x）=f（5+x），则f（x）一定是（ ）

A.是偶函数，也是周期函数 B.是偶函数，但不是周期函数

C.是奇函数，也是周期函数 D.是奇函数，但不是周期函数

解：因为f（10+x）为偶函数，所以f（10-x）=f（10+x）。所以f（x）有两条对称轴x=5与x=10，因此f（x）是以10为其一个周期的周期函数，所以x=0即y轴也是f（x）的对称轴，因此f（x）还是一个偶函数。故选（A）。

例2 设y=f（x）在R上可导且满足f（-x）=f（x），f（x+2）=f（x），则f′（2009）=（ ）

A.-12009 B.0 C.2004 D.12009

解：方法一：采用特殊法，视函数为常数函数，易知答案为B

方法二：因为f（-x）=f（x），f（x+2）=f（x）。所以-f′（-x）=f′（x）f′（x+2）=f′（x），

因此f′（2009）=f′（1），又因为-f′（-1）=f′（1），f′（-1）=f′（1）因此f′（2009）=f′（1）=0

例3 已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=1f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m>0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1，x2，x3，x4 .

解：因为定义在R上的奇函数，满足f（x-4）=1f（x），所以f（x-4）=1f（x），所以函数图象关于直线x=-2对称且f（0）=0，由f（x-4）=1f（x）知f（x-8）=f（x），所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f（x）在区间[0，2]上是增函数，所以f（x）在区间[-2，0]上也是增函数.那么方程f（x）=m（m>0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1