数学新课程标准下习题的有效训练探究
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1 引言
1．1 当前的数学教学现状简析
长期以来，数学教学的目标过分强调知识与技能的教学，加之教育评价体系的片面性，导致数学教学中片面追求学生的考试成绩，而忽视了学生的全面发展；更多的关注竞赛或升学有望的学生，而忽视了面向全体学生以及学生的培养：只重视知识的具体结论而忽视知识的形成过程；只注重理论知识的记忆而忽视了联系实际，“只热衷于题海战术”的应试训练，而忽视了数学学科对于培养学生数学精神的功能；只重视解题规律与技巧的教学，而忽视了数学思维方法与数学素养的培养．从而使数学教育退化为裸的知识传授，甚至演化为解答数学习题的技巧训练．
1．2 当前的数学教学现状与数学课程目标的偏差
建构主义的认知理论也强调数学教育要重视探究问题而不只是了解问题的答案；是在情景中的理解而不是机械的获取信息；是促进合作学习，而不是无益的封锁和竞争．也就是说，只有让学习者在一定的情景中进行问题的探究、经历知识的形成过程，才能达到启迪智慧、理解知识、掌握方法，从而在参与认知的过程中形成情感态度与价值观．
但目前中学数学教学的现状却存在着以习题训练为核心任务的现象，在草草地灌输结论性知识后，以大量的习题充斥数学课堂；以学生在数学习题的演练过程中的频繁失败体验，换取学生对知识的记忆与理解．这不论是从知识与技能，过程与方法，还是情感态度与价值观等方面，都与数学课程目标有着较大的偏差．产生这一现象的原因，既有升学考试指挥棒的影响，也有数学教育工作者自身对数学学科本质理解上的偏颇，更有我们对数学教育功能认识的片面性．
2 数学教学与习题训练的关系
数学教学不训练一定数量的习题是不行的，然而我们必须清醒地认识到，训练数学习题决不是理解、巩固和应用数学知识的全部内容，更不是数学教学的全部内容．那么训练数学习题在学习数学过程中有着怎样的地位和作用呢？习题的训练与数学教学之间又是怎样的关系呢？
2．1 数学教学需要习题训练
学习数学离不开习题的训练，这是一个毋容置疑的事实．教学中通过习题的训练，学生不仅学会做数学习题，而且对巩固数学概念和定理、灵活运用数学知识、培养数学思维方法与数学素养等方面有积极作用 ．
2．1．1 巩固数学概念和定理
学生在新授课上学习了新知识，初步掌握了所学的概念和定理，但在理解上往往只是表面的、片面的、孤立的，并不是一次课就能清楚、全面地理解它们的意义和实质，成为巩固的知识．同时课堂上所学习的内容是基础性的，只有通过对适当的具体数学练习题的解答，才能从不同侧面、不同角度完善对概念、定理的理解，才能防止在认识上的片面性，才能巩固对数学知识的真正理解．
2．1．2 灵活运用数学知识解决数学问题
学生在对适当难度的综合题的解答过程中，灵活运用了数学知识．由于综合性的数学习题一般涉及的数学过程较长、情景较复杂，因此要求学生必须灵活运用概念、定理进行分析、推理，从而使平时所学的知识变活．
2．1．3 培养数学思维方法与数学素养
高度的抽象性是数学最本质的特点，数学的抽象性导致了极大的概括性，抽象和概括构成了数学的实质．数学的思维是抽象概括的思维，学生只有在通过对具体数学问题的解答练习中，才能丰富知识、培养能力、发展智力，从而有效培养学生数学思维方法与数学素养．
2．1．4 及时反馈教学效果
通过学生解答练习题，师生可以及时了解学习的效果．整个中学数学知识中有许多重点和难点，但这些难点又不是一成不变的，一般随学生的实际经验、智力状况和原有知识水平等因素的不同而变化．所以教师为确保教学过程的顺利进行，就要及时了解学生对教学重点和难点的理解、掌握情况，这单纯靠教师在课堂上的观察和简单的提问是远远不够的，必须让学生通过具体数学练习题的解答，充分暴露出在理解、掌握知识与方法中的问题，使教师能适时地捕捉教学信息，准确地抓住学生学习中问题的症结，才能对症下药，及时采取有效的措施，进行教学补救，以铺平进一步教学活动的道路．
综上所述，学习数学过程中训练数学习题有着相当重要的作用，特别是在落实三维目标和反馈教学效果信息方面，有着显著的作用．
2．2 数学习题训练≠数学教学
数学课程的三维目标要求数学教学在落实知识与技能的同时，让学生掌握基本的数学思想方法和必要的应用技能；初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展．这样全方位的三维目标，通过传统数学习题的训练是很难得以全面实现的．
所以要切实落实三维目标，就必须改变传统的单一讲授灌输式的教学方式，让学生在经历发现问题、提出猜想与假设、进行科学探究等认知过程，以交流合作的形式参与学习，通过这样的认知活动，体验知识的形成过程、体会数学的研究方法；在相互启发和补充过程中丰富学生的认知结构，引导学生真正成为学习的主人，培养学生的创新意识和实践能力以及尊重他人、实事求是的科学态度．这些显然是通过传统数学习题训练所难以实现的．
可见，要全方位地落实数学课程的三维目标，就必须从数学知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度这几个不同的侧面来考虑数学教学的内容与教学方法，仅靠大量的数学习题的训练是学不到真正的数学的．
2．3 大量的习题训练对学习者的不利影响
我们不能以数学习题的训练来代替正常的数学教学．过量、过难的训练数学习题，还会对数学教学带来负面的影响．
2．3．1 双基不实
新课程强调学生在数学方面的发展，但更强调学生在数学方面发展所依靠的数学基础，学生对基础内容的理解与掌握不是通过大量的习题训练就能实现的，如果教学时远离课本，不认真研读教材，不去深入挖掘教材里概念的本质内涵，而是在课堂上充斥着大量的习题训练，学生的双基就无法扎实，基础打不好，就无法在新情境新问题面前得心应手、左右逢源．
2．3．2 忽视过程教学
新课标明确指出：“评价的主要目的是为了全面了解学生的学习历程”．既要关注学生“双基”的掌握情况，更要关注学生在学习过程中的情感与体验；既要关注学生学习的结果，更要关注学生在学习过程的变化与发展．教学中要加强过程教学，真正做到结论和过程并重．
概念的形成过程、定理的探索过程是学生学习的重要体验．如果在教学中只让学生简单地背一些公式、定理，而不去展开思维，弄清楚其背景和来源，只是一味地进行大量的习题训练，那么学生就无法真正理解所学知识，无法掌握分析、解决问题的方法，无法发展科学精神和创新意识．
3 如何更好地发挥数学习题的教育功能
既然学习数学不训练数学习题不行，而只注意数学习题的训练又不能学到真正的数学．那么教学中应如何更好地发挥数学习题的教育功能呢？
3．1 数学教育工作者需要更新理念，全面理解数学课程目标
首先，数学教育工作者要更新观念，不能狭隘地只关注升学考试这一角度，而应站在提高未来社会公民素质的角度，理解数学教育的目标和数学教学工作内容．我们既要引领学生去认知数学基础知识，又要使学生在获取知识的过程中掌握研究方法、养成良好的思维习惯，同时还要在这些知识的应用过程中培养学生实事求是的科学态度和社会责任感．只有从数学知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度这几个角度全面理解数学课程目标，才能适时、适量、适度地用好数学习题，才能搞好数学教学，才能使学生学会真正的数学．
3．2 数学教育工作者需要有良好的文化素养
要切实全面落实数学课程的三维目标，仅有新观念是远远不够的，要将新的理念转化为教学行为，转化为具体的教学效果，还需要有深厚的数学文化底蕴．数学文化底蕴一方面是接受新理念、将理念转化为教学行为的动力，另一方面是将新理念转化为教学成果的文化背景与基础．看似简单的数学习题的训练，其习题素材内容的选取、进一步深入地挖掘其教育功能，都离不开数学文化素养的基础．
由于我国传统数学教育中过分强调“双基”，因此现在从事数学教育的工作者在进行数学方法和数学文化教育的过程中，可能存在着知识背景和教学方法方面的“先天”不足．这就要求我们数学教育工作者要面对挑战，加强学习，努力提高自己的文化素养．
3．3 数学习题需要变革，以适应新课程理念下数学课程目标的需要
学生做题的过程，也是学习的过程以及再次受教育的过程．试题不仅承担着检测的功能，也承担着一定的教育功能．随着新一轮课程改革的不断深入，数学习题的内容与形式发生了可喜的变化，出现了许多格调清新、别具匠心的新题型．
3．3．1 实践活动型
在实际情境下考查学生对数学知识的理解，应用数学知识解决问题能力的习题，公路上的车流量、体育运动、出租车的车票、建筑物等都成为了数学习题的背景素材，这种习题不仅有助于让学生体会数学与生活的联系，感受到数学就在身边，而且有助于引导教学中注重对观察能力和知识应用能力的培养．
3．3．2 渗透新知型
培养学生收集信息、处理信息的能力是素质教育的要求之一， 也是《标准》的重要目标之一， 是改变学生学习方式，实现自主探索、主动发展的基础．这类题在题目中给出学生没有遇到的新知识或通过新的规定创设出新的问题情景， 包括对新概念进行定义、对新知识、方法、技能进行阐述， 要求学生边看题边学习新内容， 然后用新知识、新方法、新技巧解题，主要考察学生接受新事物， 获取、加工新信息的能力和科学的数学素养．
3．3．3 实验操作型
数学试验操作型充分体现了《标准》的基本理念，体现了素质教育的基本要求． 它以数学试验为基本框架进行设计， 需要考生通过操作、观察、猜想、验证、证明等数学活动来完成解题． 这种试题在考查学生动手操作、探索研究能力方面有独特作用，同时这种试题也是学生学习数学的研究方法，培养创新精神和实践能力的好题型．
3．3．4 探索研究型
研究性学习是一种新型的学习方式， 要求创设有助于学生自主学习的问题情境， 引导学生通过自主探索与合作交流获取知识． 这是《标准》所倡导的一种学习方式， 由这种方式引发了研究型试题． 这种题型背景宽广， 求解方式不同于一般性试题， 学生不仅要有扎实的数学基础知识还应有分析问题和解决问题的应变能力．
3．3．5 创新设计型
创新意识的激发， 创新思维的训练， 创新能力的培养是素质教育中最具活力的课题， 也是《标准》的重要目标之一．《标准》还指出学生的学习应是现实的、有趣的、富有挑战性的， 这些内容有利于学生主动地学习， 要求结合学生的生活实际( 诸如生活中的测量、方案最优化设计等问题) ， 从数学的角度发现、提出和设计问题， 用数学方法加以探索、研究和解决问题．
3．3．6 智力游戏型
《标准》除强调学生的学习内容是现实的、有趣的、富有挑战性的， 这些内容有利于学生主动地探究，还强调学生的学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程． 学生的许多玩具及游戏活动( 诸如填幻方、七巧板拼图、俄罗斯方块等) 中常常包含着许多有趣的数学道理， 智力游戏探究题具有寓教于乐、开发智力、激活思维的功能，可以培养爱学习，会思考的好习惯．
总之，学习数学离不开数学习题的训练，要使数学习题在教学过程中更好地发挥其教育功能，就需要正确认识习题在数学学习过程中的作用，把握好习题训练的时间、数量和难度，并不断改革数学习题的内容与形式，以使数学习题的训练适应新课程理念下数学课程目标的需要．
义务教育阶段的初中数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展，所涉及的内容是全体初中毕业生应该掌握的最基础的知识．因此数学教学要有利于引导和促进数学教学全面落实《数学课程标准》所设立的课程目标，体现数学课程的评价理念，有利于改善学生的数学学习方式，丰富学生的数学学习体验，提高学生学习数学的效益和效率．事实上，只有超越应试，才能实现人才的培养与升学深造的统一，才能使青少年学生的数学文化素质得到全面的提高，并使优秀人才脱颖而出．
作者简介 蔡娟，女,1971年11月出生，江苏海门人. 中学一级教师，江苏省南通市崇川区教体局数学教研员,南通市数学学会会员，《时代学习报》特约编辑. 近年来,在省级杂志发表了近10篇教育教学论文.