用因式分解法巧妙解题

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同学们解答某些与和差有关的问题时，若能巧妙地运用因式分解，可使解题过程简捷.现举例说明.

一、计算

例1计算200324006×2002＋20022.

（2003年“英才杯”初二数学竞赛试题）

分析：由于4006＝2×2003，那么原式可变为形如的式子.

解：原式＝20032－2×2003×2002＋20022＝(20032002)2＝1.

例2计算＋＋.

（2002年北京市初二数学竞赛试题）

分析：五个分数的分母都是1001的倍数.

解：原式＝＋＋

＝×(＋＋)

＝.

例3 计算1997219982＋1999220002＋2001220022＋2003220042＋2005220062.

（2006年江苏省初二数学竞赛试题）

分析：从第1个数开始，每两个数分为一组，共可以分为5组，且每组为平方差的形式.

解：原式＝（1997219982）＋（1999220002）＋（2001220022）＋（2003220042）＋（2005220062）

＝（1997＋1998）（19971998）＋（1999＋2000）（19992000）＋（2001＋2002）（20012002）＋（2003＋2004）（20032004）＋（2005＋2006）（20052006）

＝（1997＋1998＋1999＋2000＋2001＋2002＋2003＋2004＋2005＋2006）

＝

＝20015.

二、比较大小

例4设，，则、的大小关系为（ ）.

A. ＜ B. ＞

C. ＝ D. 无法确定.

分析：的分子和分母中分别有公因数2005和2006，的分子和分母中分别有公因数2006和2007.

解：

＝

＝1.

同理＝1.

因为＞，所以＜，应选A.

例5若A＝，

B＝，

则A，B，C的大小关系是（）.

A. A＞B＞C B. C＞B＞A

C. B＞A＞C D. B＞C＞A.

分析：要比较A，B，C的大小关系，可先比较A，B，C中任意两者的大小关系.

解：AB＝

＝×.

因为＜1，＞1，

所以AB＜0 ，A＜B.

同理BC＜0，B＜C.

所以A＜B＜C，应选B.

三、求值

例6已知，那么的值为 _______.

分析： 可化为，可化为.

解：由，得

，.

原式＝

＝

＝

＝2004.

例7如果是整数，且、是方程2＋＋1＝0的整数解，则＝_____或_____.

分析：请注意已知方程中的前两项含有因式，第三项和第四项也含有因式.

解：已知方程可化为

.

所以.

所以.

因为、都是整数，

所以，或1.

例8设实数满足 2，，则＝ _____.

分析：将原式先去括号，看看能否化为积的形式.

解：原式＝

＝

＝

＝.

因为，

所以（ ＋）（＋）＝4，

(.

因为，

所以，.

从而，原式＝5.

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