因子分析在学生成绩综合评价中的应用

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摘 要：在教学管理中，需要科学合理地对学生成绩进行综合评价。目前，应用较多的如简单相加法和标准分法都存在各种缺点。运用主成分分析的方法对学生成绩进行因子分析，并通过分析的结果做出一个综合评价，这样可以比较有效地解决其他分析方法存在的问题。通过对学生在校期间各科成绩进行因子分析的具体实例研究，找出影响学生知识和能力的主要方面因子，并据此对学生成绩做出一个客观、综合的评价。

关键词：因子分析；各科成绩；综合评价；实例分析

中图分类号：TP391；O212 文献标识码：B 文章编号：1004-373X(2008)06-137-04

Application of Factor Analysis to Comprehensive Evaluation on Students′ Grade

ZHANG Yongfu ZHAO Hongzhang MU Yang2

(1.School of Astronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi′an，710072，China；

2.School of Educational Experimentation，Northwestern Polytechnical University，Xi′an，710072，China)

Abstract：We need to have a comprehensive evaluation on the students′ grade scientifically and reasonably in the field of teaching management.At present，the methods which are mostly used in the aspect include simple addition and standard marks which both have their own limitations.Making use of the method of factor analysis in evaluating the students′ grade by using the principal component analysis can give us a more comprehensive evaluation from the analytical results than before-mentioned methods.In this paper，we find out the primary factors which can have an influence on the students′ knowledge and ability by studying on an example and then make an objective and comprehensive assessment on the students′ grade.

Keywords：factor analysis；grade of various subjects；comprehensive evaluation；example analysis

1 引 言

在各大专院校中经常遇到评定各类奖学金，择优分配，推荐研究生等问题。解决这些问题的关键是如何对学生在学校期间的表现给予科学的评价，而评价的基础是学生在校期间各门课程学习所获得的多方面的知识和能力。在现行的教学体制中，这些能力和知识具体表现在对课程的掌握上，即各科成绩。本文通过对学生在校期间各科成绩进行因子分析，找出影响知识和能力的主要方面，并据此对学生成绩评价提供合理方法。

2 因子分析法

2.1 因子分析法基本思想

因子分析是主成分分析的推广与发展，他是将具有错综复杂关系的变量(或样品)综合为数量较少的几个因子，以再现原始变量和因子之间相互关系，同时根据不同因子还可以对变量进行分类，属于多元分析中处理降维的一种统计方法[1，2]。

对于给定的n个样本(学生)，m个原始调查变量(评价指标)原始数据矩阵如下：

式(3)即为因子模型，其中各因子的系数bij称为因子载荷系数。当初始负载不易解释时，常对负载做变换，即旋转，以便得到更简单的结构，便于因子解释。

因子分析的核心问题有2个：如何构造因子变量；如何对因子变量进行命名解释[3]。

因此，因子分析的基本步骤和解决思路就是围绕这2个核心问题展开的。因子分析常有以下4个基本步骤：

(1) 确认待分析的原有干变量是否适合作因子分析；

(2) 构造因子变量；

(3) 利用旋转方法使因子变量更具有可解释性；

(4) 计算因子变量得分。

2.2 应用因子分析法进行综合评价应注意问题

(1) 原始指标是否需要转换处理

若原始指标的量纲或经济意义不同，将原始指标直接求得综合得分，将很难给予一个合理的经济解释；若原始指标变量数量级差异较大，则变量值大的对综合指标(公共因子)的影响也大。因此，在用因子分析法时，通常需要对原始指标进行无量纲化处理。

(2) 什么评价指标适合运用因子分析方法

因子分析法在多元统计中属于降维思想中的一种，其目的在于简化数据，通过较少的公共因子反映复杂现象的基本结构。原始评价指标少，意义明确，能较好地反映评价对象，这时不一定要使用因子分析。如果强行运用，不仅加大计算量，而且意义不大。

此处，使用因子分析法进行综合评价目的之一是为了避免评价指标之间的相关性所引起权重的偏倚。因此其中一个前提条件是评价指标之间应该有较强的相关关系。如果指标之间的相关程度很小，指标不可能共享公共因子，公共因子对于指标的综合能力就偏低。一般来说，可以通过对指标的相关矩阵进行检验，如果相关矩阵的大部分系数都小于0.3，则不适合做因子分析。

(3) 因子模型应选取几个因子进行分析

因子分析的目的是寻求用少数的几个公共因子解释协方差结构的因子模型。选取的因子过多，应用因子分析方法就失去原有的意义；但选取的因子过少，又可能造成原始信息量的大量损失。通常有以下3种准则：

以主成分的特征值为标准选取公共因子。原始评价指标标准化后，由于每个指标的方差为1，假如主成分所对应的特征值小于1，意味着该主成分连一个指标的方差都无法解释，所以应选取特征值大于或接近于1的主成分作为公共因子，舍弃特征值远小于1的其他主成分。

以主成分的方差累计贡献率为标准来选取公共因子。方差累积贡献率反映了主成分保留原始信息量的多少。一般而言，主成分累积贡献率达到 85%以上就可以说明和解释问题，因此可以以此为标准选取累积贡献率达到85%以上的那些主成分作为公共因子。

根据分析问题的需要或具体问题的专业理论来选取公共因子。在多维数据中，当维数大于3时便不能画出几何图形，但通过因子分析法选取主要的2个公共因子，画出正交因子得分图，以反映评价对象在二维平面上的分布情况，从而直观地找出各评价对象在公共因子中的地位，进而还可以对评价对象进行分类处理。

(4) 初始公共因子是否需要旋转

建立因子分析模型的目的不仅是要找出主因子，更重要的是要知道每个主因子的意义，以便对实际问题进行分析。通过式(2)、式(3)，只是确立初始公共因子，这些初始因子是否具有明确意义，需要进一步分析因子载荷阵才能得出。如果从每个初始因子能较好地找出所代表的原始指标，就可以直接赋予这些因子合理的经济解释，进行下一步的分析研究。但如果因子载荷量较为平均，难以判别哪些指标与哪因子联系较为密切，无法从原始指标中寻求评价对象在各个因子上得分差异的原因，这时就需要进行因子旋转。

因子旋转的直观意义是经过旋转后，公共因子的贡献越散越好，使指标仅在一个公共因子上有较大的载荷，而在余公共因子上的载荷比较小。因子旋转的方法很多，如正交旋转、斜交旋转等，正交旋转又包括方差最大化旋转、4次方最大化旋转等，但基本思路就是在寻求极值的前提下，用一个正交阵(对正交旋转)或非正交阵(对斜交旋转)右乘因子载荷阵，达到简化因子载荷阵结构的目的。

3 实例分析

3.1 学生成绩评价方法现状

目前，对大学生成绩评价方法主要有：比例制、考查制、学分制、德育考评等[4]。

(1) 比例制

例：学期成绩由平时考查、期中、期末考试成绩按折合计算。有期中、期末考试的课程的成绩，按平时20%、期中30%，期末50%计算。无期中考试的课程按平时30%、期末70%计算。比例制引入了对学生平时的学习态度、学习状况等方面的考查，打破了只看期末考试成绩的僵局。

(2) 考查制

例：体育课等不宜集中考试的课程的成绩，参照有关标准制订评定办法。考查课成绩用优、良、及格、不及格4级评定。

(3) 学分制

例：学生最终成绩按照以下公式计算：(学分×分数)之和/总学分，这种方法体现课程的重要程度，学分即是权重。

(4) 德育考评制

例：学生操行成绩作为学生每学期必修课纳入学生学籍管理，毕业后装入学生档案。学生基准分为80分，实行加分、扣分制度。

以上方法都从一个方面比较客观地评价一个学生的成绩，但无法对一个学生做出综合客观的评价。下面将采用因子分析法对学生成绩进行综合评价。

3.2 基本资料

表1是某学校25位学生的工作成绩资料，以此为基本资料进行分析。本数据经检验符合因子分析法要求。

3.3 因子分析过程及结果

本例数据使用Minitab1 3.31软件来做。

(1) 对表1中的原始据计算其相关系数阵如表2所示：

表1 基本资料[STBZ][HT6K]

表2 相关系数矩阵[STBZ][HT6K]

10.SS]

对表2，3进行分析可知：

① 因子1，因子2所构成的信息量为原有各变量信息量的83.0%；

② 因子1，2，3所构成的信息量为原有各变量信息量的95.5%。因此，可以只取前2个或者前3个因子进行分析。

(3) 选取少量因子进行分析

首先选取用2个因子(1，2)进行分析，分析结果是：用2个进行分析，2个因子所代表的意义不是很明确，不容易做出解释(具体过程略)。因此选取3个因子进行分析。选取第1，2，3个因子。分析结果如表5，表6所示：

表5 因子载荷矩阵[STBZ][HT6K]

表6 因子的特征值及贡献率[STBZ][HT6K]

从表5，6可以看出，虽然3个因子所包含的信息量大，但还是不易做出解释。为克服这一问题，将因子旋转一个角度，本次分析使用方差最大(Varimax)旋转法，旋转后各因子的意义更加明确。旋转后的具体结果如表7，表8所示：

表7 旋转后因子载荷矩阵[STBZ][HT6K]

表8 旋转后因子的特征值及贡献率[STBZ][HT6K]

从表7可以看出，第1因子解释C3，C4，C5的比例比较大且各自的比例接近；第2因子解释C1的比例比较大；第3因子解释C2的比例比较大。C3，C4，C5分别代表“历史成绩指数”，“语文成绩指数”，“工作成绩指数”，所以F1(第1因子)可以定性为“文科因子”；C1代表“数学成绩指数”，所以F2可以定性为“理科因子”；C2代表“表达力指数”，所以F3可以定性为“综合因子”即学生的综合能力。在以后的分析中可以根据此对学生做出比较客观的评价。以达到好的的效果。

从下面的3D-PLOT图中可以比较清楚地看出他们的分组情况。如图1所示。

4 结 语

从以上的分析中可以看出，传统的总成绩公布公式，既没有考虑到各科成绩的不可比性，又没有考虑学生在总体中的位置，并简单认为各科成绩的权重是相等的，忽视了课程对能力和素质培养的差异，这是不科学的。

用主成分分析法对学生成绩进行因子分析就比较有效地解决了上述问题。因为这种方法是概括原始成绩的

图1 主成分3D-PLOT图

最佳线性函数，他不但对原始数据进行了标准化处理，而且考虑到了由指标变异程度带来的差异。在教育管理中，使用本方法寻找综合因子，对学生的成绩进行综合排序，为择优分配，评定奖学金，推荐研究生等提供比较合理的标准。此外，在大力推行素质教育的今天，不应该仅看分数，应该从数据中找出本质的东西，转变重分数，轻能力的观念，使教育能够培养出更多更好具有较高素质和能力的人才。

参考文献

[1]王学仁，王松桂.实用多元统计分析[M].上海：上海科学技术出版社，1990.

[2]游家兴.如何正确运用因子分析法进行综合评价[J].统计教育，2003(5)：10-11.

[3]刘菊香，沈霄凤.用SPSS统计软件对学生综合成绩的因子分析[J].统计教育，2006(1)：53-56.

[4]邱运君，潘莉.因子分析法在学生成绩评定中的应用[J].成都信息工程学院学报，2006，21(增刊)：141-148.

[5]陈雪涛，张仁津，冉双林.数据挖掘在智能教学系统中的应用\[J\].现代电子技术，2007，30(2)：80-82.

[6]宋晓云，苏宏升.一种并行决策树学习方法研究\[J\].现代电子技术，2007，30(2)：141-144.

[7]田绪安，田茵.访问Web数据库方法的研究与实现\[J\].现代电子技术，2006，29(24)：152-153，156.

作者简介 张永福 男，1980年出生，陕西韩城人，助教，硕士。主要从事遥感和地理信息系统应用研究。

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