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巧用均值定理求最值

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摘 要: 均值定理中右式是常数时为左式的最小值,常用“均分”的方法,左式是常数时为右式的最大值,常用“调节系数”方法。化变量为定值需一定的技巧。

关键词: 巧解 最大值 最小值 正数和 正数积

数学中的“均值定理”又称“重要不等式”,可见其在不等式章节中的重要性。公式为x+x+…+x≥n,其意为正数x,x,…,x的算术平均值不小于它们的几何平均值。又可认为:当左式是常数时为右式的最大值,当右式是常数时为左式的最小值,所以数学中常用均值定理求最值问题。应用定理必须注意三个条件:正数、定值、等号,三者缺一不可,其中化变量为定值需一定的技巧。

1.求正数和的最小值

例:求x+;x+,(x>0)的最小值。

解:[分析]求正数和的最小值,必须化正数积为定值,常用“均分”的方法。

x>0,>0,

x+=++≥3=。

当=,x=等号成立,所以x+的最小值是。

同理:x+=x++≥3=,

x+的最小值是。

2.求正数积的最大值

例:求x(1-2x);x(1-2x),(0<x<)的最大值。

解:[分析]求正数积的最大值,必须化它们的和为定值,常用“调节系数”方法。

x>0,(1-2x)>0,

x(1-2x)=・2x・(1-2x)≤=。

当x=时等号成立,所以x(1-2x)的最小值是。

同理x(1-2x)=・4x・(1-2x)・(1-2x)≤・=,

x(1-2x)的最小值是。

3.应用一例

当圆锥的母线长为定值a时,问圆锥的高h为何值时,它的体积V有最大值,最大值是多少?

解:设底面半径为r,则r+h=a,V=・π・r・h=・π・(a-h)・h。

[分析]:V恒为正数,将V平方,再调节系数,化它的和为定值。

V=・π(a-h)(a-h)・h

=π(a-h)・(a-h)・2h≤π≤π()

当a-h=2h时,即h=a,r=时,体积V有最大值πa。

“兴趣是最好的教师”,而“巧解”能激发兴趣的产生。正如上述,巧妙变换算式,熟记而精思,活化了公式,避免了解题过程的繁杂与冗长,使人耳目一新,豁然开朗,从而收到了出奇制胜的效果,让学生真正体会到数学的精华,充分调动其求知欲,提高学习能力。因此,研究“巧解”是数学教育者的重要工作,也是创新意识的具体体现。

参考文献:

[1]五年制高等职业教育文化基础课教学・数学.苏州大学版.

[2]数学精编.浙江教育出版社.

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