巧用均值定理求最值

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摘 要： 均值定理中右式是常数时为左式的最小值，常用“均分”的方法，左式是常数时为右式的最大值，常用“调节系数”方法。化变量为定值需一定的技巧。

关键词： 巧解 最大值 最小值 正数和 正数积

数学中的“均值定理”又称“重要不等式”，可见其在不等式章节中的重要性。公式为x+x+…+x≥n，其意为正数x，x，…，x的算术平均值不小于它们的几何平均值。又可认为：当左式是常数时为右式的最大值，当右式是常数时为左式的最小值，所以数学中常用均值定理求最值问题。应用定理必须注意三个条件：正数、定值、等号，三者缺一不可，其中化变量为定值需一定的技巧。

1.求正数和的最小值

例：求x+；x+，（x＞0）的最小值。

解：［分析］求正数和的最小值，必须化正数积为定值，常用“均分”的方法。

x＞0，＞0，

x+=++≥3=。

当=，x=等号成立，所以x+的最小值是。

同理：x+=x++≥3=，

x+的最小值是。

2.求正数积的最大值

例：求x（1-2x）；x（1-2x），（0＜x＜）的最大值。

解：［分析］求正数积的最大值，必须化它们的和为定值，常用“调节系数”方法。

x＞0，（1-2x）＞0，

x（1-2x）=・2x・（1-2x）≤=。

当x=时等号成立，所以x（1-2x）的最小值是。

同理x（1-2x）=・4x・（1-2x）・（1-2x）≤・=，

x（1-2x）的最小值是。

3.应用一例

当圆锥的母线长为定值a时，问圆锥的高h为何值时，它的体积V有最大值，最大值是多少？

解：设底面半径为r，则r+h=a，V=・π・r・h=・π・（a-h）・h。

［分析］：V恒为正数，将V平方，再调节系数，化它的和为定值。

V=・π（a-h）（a-h）・h

=π（a-h）・（a-h）・2h≤π≤π（）

当a-h=2h时，即h=a，r=时，体积V有最大值πa。

“兴趣是最好的教师”，而“巧解”能激发兴趣的产生。正如上述，巧妙变换算式，熟记而精思，活化了公式，避免了解题过程的繁杂与冗长，使人耳目一新，豁然开朗，从而收到了出奇制胜的效果，让学生真正体会到数学的精华，充分调动其求知欲，提高学习能力。因此，研究“巧解”是数学教育者的重要工作，也是创新意识的具体体现。

参考文献：

［1］五年制高等职业教育文化基础课教学・数学.苏州大学版.

［2］数学精编.浙江教育出版社.

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