一类铁磁链方程解的存在性

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摘要: 研究了具有初始和边界条件下线性抛物形微分方程组以及铁磁链方程在边界值下的问题,并且证明了解的存在性.

关键词: 存在性；解；铁磁链方程

中图分类号:O175.2

文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)05-0352-04

Existence of the Solution Ferro-Magnetic Chain

ZHONG Taiyong,DENG Lebin,LI Junhua

(Department of Mathematics, Yunyang Teachers College, Shiyan 442000, China)

Abstract: This paper discusses the linear parabolic system with the initial and boundary conditions and the initial boundary value problem of the ferro-magnetic spin chain equation, and proves the existence of the solution.

Key words: existence; solution; ferro-magnetic chain

连续性海森伯自旋波方程在物理学家中引起了相当大的兴趣.在1维的铁磁链的古典研究中，对于各向同性的海森伯方程链即所谓的LandanLifshitz方程［1］是下列方程系统中的一种特殊情况：

zt=z×zxx+f(x,t,z)

其中z=(u,v,w)是未知的3维向量值函数，f(x,t,z)是给定的关于x,t和z的3维向量值函数,“×”表示2个3维向量的叉乘.关于铁磁连方程组在有界问题下的弱解的存在性已经在文献［2］中得到证明.而下列含有吉尔伯特阻尼项的方程组

zt=－αz×(z×zxx)+z×zxx+z×f(x,t,z).

上式关于广义系统铁磁链方程组的光滑整体解的存在性问题已经在文献［3］中得到证明了.

1 线性抛物方程组解的存在性

我们考虑线性抛物方程组

zt=A(x,t)zxx－zx－z+f(x,t),(1)

具有下列初始值和边界条件下

z(0,t)=0 和 zx(0,t)=0，当x=0时,(2)

z(l,t)=0 和 zx(l,t)=0，当x=l时,(3)

z(x,0)=z0(x)，当x=0时,(4)

其中z(x,t)和z0(x)是2个n维向量值函数.

引理1 假设线性抛物方程组(1)和初始值向量值函数z0(x)满足下列条件：

1）f(x,t)是一在QT上n维向量值平方可积函数，

其中QT={0≤x≤l,0≤t≤τ}，(0≤τ≤T);

2）z0(x)∈W(1)2(0,l)是n维向量值函数，满足边界条件;

3）A(x,t)是在QT上的N×N正定矩阵和可测有界矩阵，则在边界问题(1) ~(4)存在唯一的向量值解

z(x,t)∈L∞((0,t);W(1)2(0,l))∩W(2,1)2(QT),(5)

且具有下列估计

supz(x,t)w2(1)(0,l)+ztL2(QT)+zxxL2(QT)≤k(z0w2(1)(0,l)+fL2(QT)).(6)

证明 用z和zxx分别对方程组(1)做内积，可以得到

(z,zt)－(z,Azxx)+(z,zx)+(z,z)=(z,f),

(zxx,zt)－(zxx,Azxx)+(zxx,zx)+(zxx,z)=(zxx,f).

然后对上面式子进行相减，因为

∫l0(zxx(x,t),zt(x,t))dx=zx(x,t),zt(x,t)l0－∫l0(zx(x,t),zxt(x,t))dx

再利用边界条件(2)和(3)，可以得到上面的等式中的右边第1项为0，于是有

∫l0(zxx(x,t),zt(x,t))dx=－∫l0(zx(x,t),zxt(x,t))dx=－12ddtzx(・,t)2L2(0,l).

在矩形区域上，对上面的得到的减式进行积分，可得

[JP3]z(・,t)2w2(1)(0,l)-z02w2(1)(0,l)+2QT(zxx,Azxx)dxdt =2QT(zxx,zx+z－f)dxdt+2QT(z,zxx－zx－z+f)dxdt

根据引理1的条件，从上面得到的等式中，可以得到关系式(5)的估计，上面提到的边界条件下(1)~(4)的解的存在问题可以由参数连续法证明得到，由估计式（6）立即得到解的唯一性，因此我们完成了引理1的证明.

2 铁磁链方程问题

zt=αzxx+βz×zxx－γz×(z×zxx)+f(x,t), 当t>0时, (7)

z(0,x)=z0(x)， (8)

z(t,x)=0, t≥0,x∈Ω,(9)

[JP3]不失一般性，可以假设在(7)中α，β，γ=1.

引理2［4］ 设j,m∈N∪0,q,r∈R+，使得满足0≤j

Djup≤cDmuaru1－aq.

[JP3]对u∈Wm,r∩Lq(Ω)，其中Ω∈R1,jm≤a≤1,1p=j+a(1r－m)+(1－a)1q.

分别用・p,・m,p来表示LP(Ω)和Wm,P(Ω)的范数，特别地・=・2.

记H=L2(Ω),V=H1[KG-*4/5]0(Ω),X=H2∩H1[KG-*2]0(Ω)以及用等价范数ux当u∈V时和uxx当u∈X.

2.1 S(t)的分解

设f∈V是与t无关的函数，则方程组是自治的和解算子S(t)在X上构成连续非线性半群.设S(t)=S1(t)+S2(t)，其中S1(t)是一致衰减，S2(t)是一致压缩的.则β2上的ω－极限集合是在X里的整体吸引子［5］.用下列方法来分解S(t)，定义S1(t)z0=z1是下列问题的解.

z1t=z1xx+z×z1xx－z×(z×z1xx), t>0,x∈Ω,(10)

z1(t,x)=0,t≥0,x∈Ω,

z1(0,x)=z0(x), x∈Ω.

则z2=S2(t)z0=S(t)z0－S1(t)z0满足

z2t=z2xx+z×z2xx－z×(z×z2xx)+f(x), t>0,x∈Ω, (11)

z2(t,x)=0,t≥0,x∈Ω,

z2(0,x)=0, x∈Ω.

其中z=S(t)z0是问题(7)~(9)的解.

2.2 S1(t)的衰减

用－z1xx对(10)式做内积，因为对于向量a,b,c,a×(b×c)=(a・c)b－(a・b)c,

注意到 ［z×(z×z1xx)］・z1xx=(z・z1xx)2－z2z1xx2≤0,

用分部积分法，可得

[JP6] 12dd tz1xx2+λ1z1x2≤12ddtz1x2+z1xx2≤0,

其中λ1是具有Dirichlet边界条件下在Ω上－Δ=－d2dx2的特征值的第1项，则zx2≥λ1z2.

因此有其可得

z1x2≤z0x2exp(－2λ1t)

因此 z12≤1λ1z1x2≤1λ1exp(－2λ1t)

同理用z1xxxx对(10)式做内积，用分部积分法，可得

12ddtz1xx2+z1xxx2=－∫b[KG-1*2]a(zx×z1xx)・z1xxxdx+∫b[KG-1*2]a［zx×(z×z1xx)］・z1xxxdx+∫b[KG-1*2]a［z×(zx×z1xx)］・z1xxxdx+∫b[KG-1*2]a［z×(z×z1xxx)］・z1xxxdx

有前式，∫b[KG-1*2]a［z×(zx×z1xx)］・z1xxxdx≤0，上面等式中右边的其余项可得到下列估计

∫b[KG-1*2]a(zx×z1xx)・z1xxxdx≤zxz1xx∞z1xxx≤czxz1x14z1xxx74

由Sobolev的插值不等式和引理2，得到

∫b[KG-1*2]a［zx×(z×z1xx)］・z1xxxdx+∫b[KG-1*2]a［z×(zx×z1xx)］・z1xxxdx≤2zxz∞z1xx∞z1xxx≤czx2z1x14z1xxx74≤czx16z1x2+14z1xxx2

因此，我们得到

ddtz1xx2+λ1z1xx2≤ddtz1xx2+z1xxx2≤c(zx16+1)z1x2≤c(zx16+1)z0x2exp(－2λ1t),

因此 z1xx2≤z0xx2+c(1+supR+zx16)z0x2)exp(－λ1t) .

于是我们得到下列引理3.

引理3 假设f∈V，则S1(t)在X内有界集上一致衰减.

2.3 S2(t)的一致紧

当f∈V，S(t)z0=z和S1(t)z0=z1在X内是有界紧的，因此z2=S2(t)z0同样也是的，为了证明S2(t)在X内的紧性，这可以充分说明S2(t)是从X到H3(Ω)3内的一致有界的.因此，我们仅仅需要证明

z2xxx2≤c.

假设 f∈X.

用－6z2x6对(11)式做内积，用分部积分法，可得

12ddtz2xxx2+z2xxxx2=－∫b[KG-1*2]a(z×z2xx)xx・z2xxxxdx+∫b[KG-1*2]a［z×(z×z2xx)］xx・z2xxxxdx+∫b[KG-1*2]afxx・z2xxxxdx∫b[KG-1*2]a(z×z2xx)xx・z2xxxxdx≤zxxz2xx∞z2xxxx+2zx∞z2xxxz2xxxx≤czxxz2xxx12z2xxxx32≤16z2xxxx2+czxx4z2xx2.

其中c与 T有关. ∫b[KG-1*2]a(z×(z×z2xx))xx・z2xxxxdx≤2zxxz∞z2xx∞z2xxxx+2zx2∞z2xxz2xxxx+4z∞zx∞z2xxxz2xxxx≤16z2xxxx2+c(zxx4+zxx8)z2xx2

因此

ddtz2xxxx2+λ1z2xxx2≤ddtz2xxx2+z2xxxx2≤c(zxx8+zxx4)z2xx2+cfxx2≤c.

由 Gronwall 不等式，可以得到下列引理.

引理4 S2(t)在X上是一致紧的.

3 结语

根据在第2节中的讨论，可以得到S1(t)的一致衰减和S2(t)在X内有界集上一致紧的.因此证明了z(x,t)=S(t)z0=(S1(t)+S2(t))z0是初始边界值问题(7)~(9)的解.

参考文献:

［1］LANDAU L D, LIFSHITZ E M. On the theory of the dispersion of magnetic permeability in ferromagnetic bodies［J］.phys Zeitsch der Sow,1935,8:153-169.

［2］ZHOU Yulin, GUO Boling. Existence of weak solution for boundary problem of ferromagnetic chain［J］. Scientia in China:series A,1984,27(8):799-811.

［3］GUO Boling, HUANG Haiyang. Smooth solution of the generalized system of ferromagnetic chain［J］. Discrete and continuous dynamical systems, 1999, 5(4):729-740.

［4］ZHOU Yulin, GUO Boling,TAN Shaobin.Existence and uniquenss of smooth solution for system of ferromagnetic chain［J］.Scientia in China:series A, 1991,34(3):257-266.

［5］LI Yongshen, CHEN Qingyi. Longtime behaviour of ferromagnetic spin chain equation: Global attractor and its dimension, Mathe［J］. Methods in the Applied Science, 1997,20:1271-1281.