构造二次函数 求解几何最值

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有些几何最值问题，需要根据题意和几何图形的性质构造出二次函数，然后利用二次函数的最值公式求解.解这类题，需要综合运用代数与几何知识，综合性强，难度大.

现以2007年的几道中考题为例说明如下.

对于二次函数y=ax2+bx+c （a≠0），若a＞0，则当x=- 时，函数有最小值y= ；若a＜0，则当x=- 时，函数有最大值y= .

例1在足够长的墙边，一边利用墙，另外几边用总长为l2m的篱笆，围出一块苗圃.如图1，围出的苗圃是五边形ABCDE.已知AEAB，BCAB，∠C=∠D=∠E.设DC=DE=xm，五边形ABCDE的面积为Sm2.当x取什么值时，S最大？最大值是多少？

（浙江省宁波市）

解析：连结EC，作DFEC，垂足为F.因为 ∠BCD=∠CDE=∠DEA，∠EAB=∠CBA=90°，所以∠BCD=∠CDE=∠DEA=120°.又因为DE=DC，所以∠DEC=∠DCE=30°，即∠CEA=∠ECB=90°，所以四边形EABC为矩形.因为DE=x，所以AE= -x，DF= x，EC= x，所以S=- x2+6 x （0＜x＜6），则当x=4时，S有最大值，S最大=12 （m2）.

例2如图2，在等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°.点M、N同时以相同速度分别从点A、D出发在AB、AD（包括端点）上运动.

（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围；

（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断AMN的形状．

（江苏省南充市）

解析：（1）过点N作AB的垂线NP，交BA的延长线于点P.因为四边形ABCD是等腰梯形，所以BA∥CD.又因为∠D=∠C=30°，所以∠PAN=∠D=30°.又因为AN=AD-ND=20-x，所以在RtAPN中，NP= AN= （20-x），即点N到AB的距离为（20-x） .因为 ND =MA=x，而0≤ND≤20，0≤MA≤15，所以x的取值范围是0≤x≤15.

（2）因为SAMN= MA・NP= （20-x）=

- x2+5x，所以当x=10时，SAMN有最大值.又因为S五边形BCDNM=S梯形ABCD-SAMN，且S梯形ABCD为定值，所以当x=10时，S五边形BCDNM有最小值.当x=10时，MA=ND=10，AN=AD-ND=10，即MA=AN.所以当五边形BCDNM面积最小时，AMN为等腰三角形.

例3如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y.

（1）求y与x的函数表达式；

（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

（江苏省南京市）

解析：（1）在梯形ABCD中，因为AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，所以∠A=∠D=120°，所以∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°.因为∠BEF=120°，所以∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°，即∠ABE=∠DEF，所以ABE∽DEF，所以 = .因为AE=x，DF=y，所以 = .所以y与x的函数表达式为y= （6-x）=- x2+x.

（2）因为y=- x2+x，所以当x=3时，y有最大值，最大值为 .

例4如图4，二次函数y=x2+bx+c （b≤0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，0）.直线x=1与抛物线交于点E，与x轴交于点F，且45°≤∠FAE≤60°.

（1） 用b表示点E的坐标；

（2）求实数b的取值范围；

（3）BCE的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由.

（四川省乐山市）

解析：（1）因为抛物线y=x2+bx+c过点

A（-2，0），所以c=2b-4.因为点E是直线x=1与抛物线的交点，所以点E的横坐标为1，纵坐标为y=1+b+c=1+b+2b-4=3b-3，所以点E的坐标为（1，3b-3）.

（2）因为EF=3-3b， AF=3，45°≤∠FAE≤60°，且tan∠FAE= .所以1≤ ≤ ，所以 1- ≤b≤0.

（3）BCE的面积有最大值.

因为y=x2+bx+c的对称轴为x=- ，点A的坐标为（-2，0），所以点B的坐标为（2-b，0）.因为点C的坐标为（0，2b-4），而SBCE=

S梯形OCEF+SEFB-SOCB= （OC+EF）・OF+

EF・FB- OB・OC= [（4-2b）+（3-3b）]×1+ （3-3b）（1-b）- （2-b）（4-2b）= （b2-3b+2）.因为y= （b2-3b+2）的对称轴是b= ，而1- ≤b≤0，所以当b=1- 时，SBCE有最大值，最大值为 [（1- ）2-3（1- ）+2]= .

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