例谈解析式规则的函数值域的求法

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函数值域的求解是高考的重点也是难点，因为函数的形式多样，不同形式函数的值域的求法也不同.根据行为主义心理学的观点，学习的方式之一就是刺激与反映的联结，所以介绍各种函数的特征是增强学生被刺激与能反映的有效途径，针对特征给出解法是突破这一难点的有效方法.下面是对几种常见函数值域解法的总结.

1.形如“y=cx+d1ax+b（a≠0）”的函数，特征：一次函数与一次函数商的形式

例求函数y=-3x+112x-3的值域.

解y=-3x+212x-1=-312（2x-1）+11212x-1=-312+11212x-1，因为11212x-1≠0，所以y≠-312.

故函数值域为-∞，-312∪-312，+∞.

说明此法称为分离常数法，能针对一切两个一次的商形式的函数值域，对于一般形式y=cx+d1ax+b（a≠0）的值域为-∞，c1a∪c1a，+∞，即y≠c1a.当然这种形式的函数还可以用反函数法，原函数的值域就是反函数的定义域，不过计算过于复杂.

2.形如“y=ax2+bx+c1dx2+ex+f（a2+d2≠0，e2-4df

例求函数y=2x2+4x-71x2+2x+3的值域.

解原函数可变形为（y-2）x2+2（y-2）x+3y+7=0，当y=2时，13=0不成立，所以y≠2.因为x∈R，所以上述关于x的一元二次方程有实数根，则有Δ=[2（y-2）]2-4（y-2）（3y+7）≥0，解得-912≤y≤2，而y≠2.故函数值域为-912，2.

说明此方法称为判别式法，尤其要注意的是：①函数的定义域应为R；②分子、分母没有公因式；③二次方程中只有二次项系数非零时，才能使用判别式.

3.形如“y=mx+n±ax+b”的函数，特征：一次函数与 “根号下为一次函数”的和差形式

例求函数y=2x+13-4x-3的值域.

解令13-4x=t，则t≥0且x=114（13-t2），原函数变为y=-112t2+t+712=-112（t-1）2+4.当t=1时，ymax=4，当t+∞时，y-∞.故函数值域为（-∞，4].

说明此法适用于根号内外自变量的次数为一次（甚至次数相同）的无理函数，一般令ax+b=t，将原函数转化为t的二次函数.此方法称为换元法，其实质在于将不熟悉的函数形式转化为熟悉的函数形式.就像人换了不同的衣服，但身高没变一样.

4.形如“y=af2（x）+bf（x）+c（a≠0）”的函数，特征：二次函数与函数f（x）复合的形式

例求函数y=sin2x-sinx+2的值域.

解令sinx=t，则-1≤t≤1，于是原函数变为y=t2-t+2=t-1122+714.因为-1≤t≤1，所以当t=112时，ymin=714；当t=-1时，ymax=4.故函数值域为714，4.

说明此方法是简单换元与二次函数性质的综合应用，特别注意找到作为一个整体的f（x），以及当令f（x）=t时t的范围.又如y=4x-3·2x+1中应令2x=t，此时t>0.

5.形如“y=f（x）+k1f（x）（f（x）∈R，f（x）≠0）”的函数，特征：函数与k倍倒数的和的形式

例求函数y=lgx+11lgx-1的值域.

解当0

说明此方法称为基本不等式法，原理为a+b≥2ab（a，b>0）.要注意的是f（x）必须取得除零以外的所有实数，并且f（x）的正负性明确，必须满足均值不等式的一正二定三相等的条件.

6.形如“y=a-x+x-b（a+b>0）”的函数，特征：函数x的系数为±1

例求函数y=1-x+x+3的值域.

解由题知-3≤x≤1时，令u=1-x，v=x+3.

则u2+v2=4

0≤u≤2

0≤v≤2，且y=u+v，在平面直角坐标系uOv中，作出圆弧u2+v2=4和直线y=u+v，如图所示，由图可知：2≤y≤22.

说明此方法采用了双换元和数学结合思想，针对满足上述结构形式的函数均可适用，且其解法颇具数学味道，直观明了.

函数值域的求解从方法上来说，还有三角换元法、构造向量法、构造几何图形法、单调性法、导数法、有界性法等.这里只是从函数解析式的具体形式来进行了总结，提供了能用通法求解的几种常见形式，为有效地解决函数值域问题提供了途径.