巧用“变异理论”,促进有效教学

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一、研究的缘起与目的

“变异理论”主张，只有从不同的具体事例中才能分离出普遍原理，因此，学习迁移的必要条件是同时具备共性和差异性。在小学数学教学中，通过进行正反例的对比，识别生活中的非标准正例，能帮助学生有效建立正确的数学概念，最终提高数学素养。

“轴对称图形”是北师大版小学数学第二学段“空间与图形”中的学习内容，教学重点是使学生初步认识轴对称图形的基本特征，难点是掌握判别轴对称图形的方法。本文旨在以“轴对称图形”这一内容的教学为例，探讨“变异理论”对教学的有效促进。

二、教学内容分析与研究问题澄清

为了进一步澄清研究的具体问题和进行教学设计，须对教学内容（“轴对称图形”的概念）和学生的相关经验进行分析。

1.教学内容的分析

（1）“轴对称图形”的概念

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能完全重合，这个图形就是“轴对称图形”。“轴对称图形”的关键属性是“对折”和“完全重合”，折痕所在的这条直线叫做对称轴，有的“轴对称图形”具有一条以上的对称轴。折叠后重合的点是对应点，对应点到对称轴的距离都相等。其作用有两个：一是可通过对称轴的一边画出另一边，二是可通过画对称轴证明两个图形是否全等。

（2）“轴对称图形”的正反例

在日常生活中，有很多“轴对称图形”，其相关的正例有：

建筑 天安门、天坛、故宫博物院

标志 五环、禁止停车、中国联通

动植物 蜻蜓、瓢虫、枫叶、花、鱼

生活用品 手套、眼镜

平面图形 长方形、正方形、等腰三角形、等边三角形、菱形

“轴对称图形”相关的反例有（见图1）：

2.学生的相关经验

变异理论强调，教学要以学生的经验和困难为出发点，因此，教师应通过前测，以便细致地分析学情，最终为教学设计服务。

（1）关注学生已有的知识基础

为了关注学生已有的知识基础，教师可设置这样的问题：“你知道哪些平面图形？请画图表示出来。”整合学生的答案可知，大部分学生对已学的长方形和正方形有比较清楚的理解（见表1），这为学习“轴对称图形”奠定了必要的基础。

（2）关注学生已有经验与新知识的结合点

为了关注学生已有经验与新知识的结合点，教师可设置三个问题。一是“你见过哪些对称图形”。整合学生的答案可知，在全班34个学生中，有17个学生认为长方形或正方形是“轴对称图形”，这表明学生对长方形和正方形的对称性具有一定认识，可将它们作为标准正例。二是“你怎么理解对称”。整合学生的答案可知，在全班36个学生中，有4个学生认为“对称是中间画一条线两边一样”，有12个学生认为“对称是两边一样”，有9个学生认为“对称是四边相等”，有11个学生不清楚“什么是对称”。可见，学生对“轴对称图形”的认识非常模糊，“两边一样”是学生对“轴对称”最典型的感性认识。三是“下面哪些图形是‘轴对称图形’”（见图2和表2）。整合学生的答案可知，在全班36个学生中，40%的学生选择五角星，所以，该例子可作为标准正例。

3.明确具体研究问题

本次行动研究旨在探究如何设计教学情景和教学活动才能让学生深入感知“轴对称图形”的关键属性，并学会应用这一关键属性判断图形是否为“轴对称图形”。基于此，教师应具体研究的问题有两个：一是如何创设情景（可从学生的感性认识入手，引导学生理解“轴对称”和“轴对称图形”），二是如何提供丰富例证（激发学生兴趣，使其在活动中学习概念）。

三、教学过程与成效

1.首次教学

针对以上两个研究问题，教师可制订相应的研究方案和教学计划，具体有三个教学环节。其一，欣赏、感受对称。教师应以“变异理论”为指导，采用大量不同的正例（不仅有教材提供的民间剪纸、脸谱图案和天安门城楼的图片等，更有教师课外收集的、学生感兴趣的图片），为本课教学创设美感的氛围。通过观察比较，学生找到图形的共同特征，最终得出结论：像这样两边形状大小完全相同的物体，我们就说它们是对称的。其二，认识“轴对称图形”。教师可引导学生用“折”的办法，证明图形的对称性，最终得出结论：图形对折后，左右两边完全重合，这样的图形就是“轴对称图形”。其三，认识“对称轴”。教师引导学生，把折过的对称图形打开，观察折痕并比较折痕的左右两边是否“完全重合”，最终，教师引导学生总结、归纳出“对称轴”的概念。

2.反思教学

首次教学后，从完成练习的情况看，大多数学生对“轴对称图形”的概念有了基本了解，但对“完全重合”的理解不够准确和深入。经过与课题组其他教师交流和讨论，我们总结出四个原因：其一，对“完全重合”的含义和“对称轴”的概念等分析不透彻；其二，反例运用欠缺，未能使学生在对比、辨析中清晰地把握“轴对称图形”的关键属性；其三，“两边一样”的感性表述未得到有效纠正；其四，“完全重合”的反推意义未涉及，学生在辨析“轴对称图形”时仍存在一定困难。

3.教学修改

针对首次教学中发现的问题，我做了三个修改。其一，在利用剪纸引导学生认识“轴对称图形”的过程中，既让学生动手操作和体验，又加强对作品的分类、对比和分析（见图3）。其二，给学生充足时间，让他们观察、实践、思考和讨论，以准确判断几个常见图形（正方形、长方形、平行四边形和三角形等）是否是“轴对称图形”。其三，利用典型反例（见图4）引导学生将“两边一样”和“对折完全重叠”加以区分，在认知冲突中对感性的前经验进行纠正。其四，要引导学生根据“对称轴”的一侧图形画出另一侧图形，就要引导学生理解折叠后重合的点是对应点，对应点到对称轴的距离都相等，以求更深入地理解概念。

4.反思总结

以“变异理论”指导“轴对称图形”这一教学内容的教学，具有三个意义。首先，教师应分析教学内容，明晰“轴对称图形”的本质特征。其次，教师要分析学生的已有经验和困难，从而确定“轴对称图形”的关键属性。最后，通过对丰富正例与典型反例的对比、观察与研究，学生既能充分认识“轴对称图形“的本质特征，又能灵活应用“轴对称图形”的本质特征解决实际问题。

（作者单位：北京市海淀区定慧里小学）