数列求和的若干方法

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【摘要】数列求和是高考中的一类热点考题。本文通过找数列的通项公式，观察通项公式的特征，对题型进行归类整理，介绍了近十种数列求和的常用方法，对此类问题的求解起到很大的帮助。

【关键词】数列 前n项和 通项公式

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）12-0154-01

数列的求和问题是高中数学的一个重要内容，它常以压轴的身份出现在高考的数列题目之中，由于此类题的题型较多，方法较活，导致高考的得分率偏低。下面集中整理了数列求和的常用方法，希望能对需要的考生有所帮助。

一、公式法求和

直接套用公式对数列进行求和是最基本的方法，对于等差、等比数列，无穷递缩等比数列的求和公式应用属于基础练习，在此不再赘述。

例1 求数列{n（n+1）（2n+1）}的前n项和。

解此题的关键在于分析出这是由三个常用数列经过简单的基本运算得到的一个新数列的求和问题。

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求数列{an・ bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列。

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）。

例3 求sin21o+sin22o+sin23o+…+sin288o+sin289o的值

解此题的关键是明确三角函数变形公式sin2α+sin2（90o-α）=1， 然后利用倒序相加，问题迎刃而解。

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。

通项分解（裂项）如：（1）an=f（n+1）-f（n）

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn。

例6 求cos1°+ cos2°+ cos3°+…+ cos178°+ cos179°的值。

解此题的关键是找到特殊性质项cosn°=-cos（180°-n°），从而合并求和简化运算。

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法。