线性世界与非线性世界的对话

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世界是非线性的，但是，人类对它的认识却是从简单的线性开始的。早在公元前500年左右，古希腊的毕达哥拉斯学派就发现了自然数是按照均匀的线性关系增加的。到了18世纪，法国大数学家拉普拉斯首先认识到，自然界也许不是一个简单的线性世界。他曾说，如果世界是线性的，则一旦初始条件确定，则世界就按简单、均匀的规则发展，那么，这个世界也未免太简单、太单调了。

到了19世纪，随着力学的发展，数学家们首次发现了非线性的微分方程，这类方程与通常的线性的微分方程相比，方程中多了一个或几个非线性的项，正是非线性项的存在，使方程由简单的线性变成了复杂的非线性。当时，这类方程较多地出现在空气动力学方程与流体力学方程之中。而法国数学家庞加莱则是最早研究此类方程的人，由此，他得出结论：自然界从广义上讲是由非线性构成的，线性只是一个特例。

由于线性在数学上处理起来简单，所以，物理学家、数学家们在遇到自然界的非线性时，总是设法还原为简单的线性以便于处理。甚至进一步讲，人类的近代数学都是建立在“线性”的概念上的。

微积分是研究变量关系的一门基础数学，它同样是将概念建立在“线性”的基础上。“极限”概念是微积分的基石，但是，求极限的过程事实上是一个线性处理的过程。对这一数学方法做出杰出贡献的是德国大数学家韦尔斯特拉斯。韦尔斯特拉斯一生充满挑战性，他年轻的时候学的是文科，专攻法律，曾当过一段律师和中学教员，也许是对这种生活感到乏味，后来进入明斯特大学开始研习数学。1854年，也就是39岁时才获得哥尼斯堡大学的数学博士学位。

韦尔斯特拉斯等数学家将现代函数，特别是微积分理论建立在“线性”概念的基础之上，从实用主义的角度看，简单、易懂。但是，在面对自然界广泛的非线性时，却仍然没有简便的认识方法，这一困局一直延续了半个多世纪。

公认的对现代非线性理论做出杰出贡献的是荷兰的一位气象学家，叫洛伦兹，正是他开启了人类认识非线性世界的大门。1962年前后，洛伦兹作为一位访问学者在美国马里兰州的美国国家气象中心做长期预报的工作。我们知道描述大气环流的方程都是非线性的微分方程，人们解这类方程通常采用数值解法，编好计算程序，在巨型计算机上计算。

奇迹的出现就在一个上午。洛伦兹输入初始条件的数值后考虑计算时间比较长，就到外面的走廊上喝了一会儿咖啡，几分钟过后，他返回到计算机旁边，将初始条件做了小小的改动，又继续计算，等他再次回到计算机旁时，发现计算机输出的数据发生了巨大变化。他的第一个感觉是，可能电脑出问题了，于是就检查了电脑，但没有发现什么问题，于是又检查计算程序，也没有问题，这使他大为困惑，因为按照通常我们对线性世界的理解，一个方程的初始条件改变一丁点，结果是不会出现巨大的差异的，但这次却完全不同，初始条件只改变了百分之几，但输出结果却改变了成千上万倍。

接下来的几天中，洛伦兹反复重复计算，结果都一样。只要初始条件有百分之一，甚至千分之一的改变，非线性方程的输出计算结果，变化成百上千倍，真是不可思议，这在线性世界是决然不可能发生的。半个月过后，思维敏捷的洛伦兹意识到，他得到了一个重大的发现，非线性的世界和线性的世界有着天壤之别。在非线性世界中，结果对初始条件有着很大的依赖性，只要初始条件有一点微小的变化，随着时间的推移，结果会越来越发生质的变化，洛伦兹将非线性世界的这一特征称为“混沌效应”。

虽然洛伦兹无意之中闯入非线性世界的大门，但是，让习惯了线性思维的学术界接受这一发现却比较困难。所以，他的论文没有发表到主流的数学期刊上，而是发表到了一份气象学的刊物上，发表之后，10年间也没引起什么注意。

人类开始对非线性世界全面、系统的研究开始于20世纪80年代。那时，计算机的速度更快了，同时，人们发现的非线性方程也越来越多，这样，一批有志于揭开非线性世界面纱的年轻数学家就开始上阵，一时间，“混沌理论”席卷学术界。到现在，近30年的时间过去了，“混沌理论”已由当初的数学学科扩展到物理学、化学，甚至是经济学、社会科学。如人类行为学的研究就已经引入了非线性理论的若干方法。

虽然人类对非线性世界的认识已经过去了30多年，但是，只是初步揭开了非线性世界的面纱，非线性世界的复杂性仍然是摆在未来数学家、物理学家，乃至社会学家面前的一道难题。相信随着研究的深入，在新的世纪中，非线性的世界会带给我们更多的惊奇和发现。