例谈反证法在数学证明题中的应用

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇例谈反证法在数学证明题中的应用范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

在数学的诸多证明方法中，有一种被称为“数学家最精良的武器之一”的间接证明方法，这就是反证法.只要抓住要领，反证法就能使一些不易直接证明的问题变得简单、易证.

所谓反证法，就是要证明“若A则B”时，先将结论B予以否定，记作B，然后从A与B出发，经正确的逻辑推理而得到矛盾（可以与已知矛盾，如本文中的例1；也可以与假设矛盾，如本文中的例2；也可以和学过的定义、定理、法则等矛盾，如本文中的例3），从而使原命题得证.

反证法大致又可以分为以下两种类型.

1.归谬法：论题结论的反面只有一种情况，只要把这种情况就达到了证明目的，如本文中的例1和例3.

2.穷举法：论题结论的反面不止一种情况，要一一驳倒，最后才能肯定原命题结论正确，如本文中的例2.

反证法常用于以下几种命题的证明.

一、命题中不易找出可以直接推证的关系

例1 在同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a与b相交，ac，bd.求证：c与d相交.

证明：假设c∥d.因为ac，所以ad.又因为bd，所以a∥b.这与已知a与b相交矛盾，所以c与d相交.

二、命题中含有“不”、“无”等词（称作否定形式的命题）

例2 求证：当n为自然数时，2（2n+1）形式的数不能表示为两个整数的平方差.

证明：假设有整数a、b，使a2-b2=2（2n+1），即（a+b）（a-b）=2（2n+1）.

当a、b同为奇数或同为偶数时，a+b和a-b皆为偶数，则（a+b）（a-b）应为4的倍数，但2（2n+1）除以4余2，与假设矛盾.

当a、b为一奇一偶时，a+b和a-b皆为奇数，则（a+b）（a-b）应是奇数，但2（2n+1）是偶数，与假设矛盾.

所以假设错误，即2（2n+1）形式的数不能表示为两个整数的平方差.

三、命题中含有“最多”、“最少”、“超过”、“不超过”等词

例3 求证：一个多边形最多只能有3个内角是锐角.

证明：假设一个n边形（n是大于3的自然数）有4个内角是锐角，则这4个内角的外角和大于360°，那么这个n边形的外角和必大于360°，这和定理“n边形的外角和等于360°”相矛盾，所以一个多边形最多只能有3个内角是锐角.