略论中学数学中的分类讨论法

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【摘 要】在中学数学中，分类讨论的思想是极为常见的。众所周知，用代数语言表述事物具有一般性。例如，用一个字母表示实数时，如果没有特殊规定，该字母可以是正数，可以是零，可以是负数。当用含义字母的式子表示几何关系时，就可能出现不同的情况。因此分类讨论是不可避免的。当面临较复杂的对象时，人们往往会考虑将对象按某种特征分成几个部分，一个一个研究，再综合之，已达到认识对象总体的目的。这种分类在科学上是广为适用的。

【关键词】分类；分类讨论；原则；教学

分类是根据对象的相同点和差异点将对象区分为不同类的逻辑方法。分类也叫划分。分类是以比较为基础的，通过比较识别对象之间的差异，根据相同点将对象归为较大的类，根据差异点将对象归为较小的类，从而将对象区分为具有一定从属关系的不同等级的系统。

一、分类的三要素

分类的目的在于使知识组成条理化，进而系统化。分类具有不可缺少的三要素：母项、子项和根据。母项是被划分的总概念，子项是划分后所得的类概念，划分的根据就是借以划分的标准。

二、分类遵循的原则

任何分类必须遵循以下标准，只有这样，才能在分类过程中防止出现遗漏、重复或者混淆不清的现象。

1.分类应按同一个标准

在分类前，应当从被分类的概念属性中，取一个属性作为依据，这与其说是原则不如说是方法。它有两层意思：一是判别概念应放在哪一类的衡量尺度；二是对两个不同的概念要用统一尺度衡量，否则就会出现划分的结果重叠或过度的逻辑错误，使划分后的结果混淆不清。

2.分类应是完备的

分类所得的各子项外延之和必须与被分类的母项的外延相等。从量方面要求一个也不能丢掉。从集合观点看，被分类概念在外延应被分类所得概念的外延覆盖，各属概念的并集等于被分概念外延的全集，否则会出现过宽或过窄的逻辑错误。

3.分类应是纯粹的

分类所得的个子项必须互相排斥，划分的子项概念的外延之间是不相容的关系。从集合的角度看，被分成的任何两类之间不相交，即无共同因素，每一类元素之间满足一个标准或关系，不满足该标准的不能属于同一类。

三、分类讨论的常规方法

（1）依据数学概念的定义进行分类。例如：绝对值、直线与平面所成的角等。

（2）依据数学公式、原则、法则的适用范围进行分类。例如：等比数列求和公式。

（3）依据数形结合进行分类。例如：集合的交、并、补用数轴讨论。

（4）依据位置关系进行分类。例如：几何中点与点，点与线，面与面等位置关系。

（5）依据数学性质进行分类。例如：偶次算数根的性质，二次函数、幂函数等性质。

（6）依据参数的变化范围进行分类。

（7）依据整数的奇偶性进行分类。

四、中学数学教学中，利用分类的方法处理问题的情况

1.定理、结论的论证求解过程及结论的表现形式

在现行的初中数学课本中，关于圆周角和圆心角的关系定理“同弧上的圆周角等于圆心角的度数的一半”的证明就采用了圆心与圆周角的关系的不同情况来分类的。

2.对已有结论进行推广

我们还可以在已有结论所讨论的范围的基础上，对尚未讨论的情形进行探究，从而达到对结论的扩张和推广。例如：在有了关于二次、三次方程的根式解以后，按照方程的次数分类，就会想到四次、五次等方程的解的问题而得到的新的结论。

五、举例说明分类讨论思想可以解决的数学问题

1.排列组合问题

例1：所以三位数中有且仅有两个数字相同的数字共有多少个？

思考与分析：符合条件的三位数可以分为如下10类。

有两个0的：100，200，…，900，共有C19=9。

有两个1的：在除1以外的9个数中任选一个，在1，1之间的位置关系有3个，但应除去011这种情况，共有9×3-1=26。

同理，在两个2，两个3，……，两个9的三位数各有26个。

所以，26×9+9=243（个）。

2.运用抽屉原理的有关问题

关键是构造抽屉，而构造抽屉的实质就是根据题目结论的要求，选择恰当的分类标准，对已知条件中的所以元素进行分类。

3.含参数问题的讨论

例2：讨论方程（k2+k-2）x2+k2y2=9的曲线的形式。

思考与分析：先划分k2+k?2=0，k2=0的根为-2，0，1。

（1）当k0和k2>0，

曲线是椭圆。由于k2+k?2

它的焦点在y轴上。

（2）当k=-2时，方程化为y=±，这是与x轴平行的两条直线。

（3）当-2

（4）当k=0时，不存在图形。

（5）当0

（6）当k=1时，方程化为y=±3，为平行于x轴的两条直线。

（7）当k>1，k2+k?2>0，k2>0，其中当1