找症状 疏通函数“经络”

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函数涉及知识点多，且知识面广，把数学的各个分支紧紧地联系在一起． 函数与其他知识（方程、不等式、数列、几何、三角、导数等）彼此渗透，相互融合，使得函数获得广泛应用． 函数本身的多样性及解决函数问题的创造性，使函数成为历年高考数学最受关注的知识点． 函数又因其高度抽象化、高度形式化、高度交叉化和高度应用化等，使得部分同学感觉函数题目难度太大而产生厌学情绪． 其实，函数这一部分内容更具有规律性，在理解概念、掌握规律后也是比较容易的． 下面结合同学们在学习函数中的常见几类症状，有针对性地加以诊断，从而提出解决之法．

症状一 ＞＞

缺乏定义域领先意识

表现对于函数问题，没有把确定相应函数的定义域作为第一条件加以分析，从而导致接下来的求解无从下手或走入误区．

症结对定义域理解不清，忽略函数的定义域或考虑定义域不全面，缺乏定义域领先意识，没有意识到定义域是求解相关问题的前提条件．

突破之道在研究函数问题时，特别是有关函数定义域、值域、单调性、奇偶性等相关问题，往往要先分析与判断对应函数的定义域．

例1设函数y＝ f（x）＝，求函数g（x）＝f（2x）＋f（x＋3）的值域．

解析：易知y＝f（x）＝的定义域为｛x｜x≥2｝，由2x－2≥0，

x＋3－2≥0 得x≥1，即g（x）＝f（2x）＋f（x＋3）的定义域为｛x｜x≥1｝． 当x≥1时，≥0，＝≥，所以g（x）＝f（2x）＋f（x＋3）＝＋≥，即g（x）的值域为［，＋∞）．

症状二 ＞＞

缺乏构造特殊函数意识

表现在解答一些抽象函数奇偶性和单调性问题时，往往很难下手，无法直接求解．

症结缺乏通过特殊函数解决一般函数的意识．

突破之道以选取特殊点、特殊函数、特殊图象的方法，非常巧妙地处理与函数图象、函数性质等有关的问题，变抽象函数为具体函数，多用于解答无解题过程的选择题或填空题中． 对于需要解题过程的解答题，可通过构造特殊函数来帮助理清思路，进而站在一般的高度寻找突破口．

例2定义在区间（－∞，＋∞）的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间［0，＋∞）的图象与f（x）的图象重合．设a＞b＞0，下列给出的不等式中成立的是（）

①f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b）

②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b）

③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a）

④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a）

A． ①与④ B． ②与③

C． ①与③ D． ②与④

解析：常规方法很难下手时，可以通过选取特殊函数图象，从已知条件出发，结合函数的单调性和奇偶性及函数图象加以求解，数形结合达到目的． 由于f（x）是定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数，且为增函数，可以在坐标系内作出一个满足条件的特殊图象（如图1）.

[f（x）][y][g（x）][x][O][-a][-b][a][b]

图1

那么根据偶函数g（x）在区间［0，＋∞）的图象与f（x）的图象重合，作出函数g（x）的对应的图象，根据以上的图象，可以直观得到f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b）和f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a）成立． 即选择C．

症状三 ＞＞

缺乏数形结合意识

表现只会死板地从函数解析式入手加以分析，缺乏透过表达式产生图形的意识，往往对函数问题无法下手或不知所措．

症结没有充分理解函数与对应的图象之间的密切联系，不知道刻意通过对应函数图象研究对应函数性质及相关问题．

突破之道把函数的图象转化为方程根的分布、不等式的变化等问题，利用数形结合思想，通过函数之间的相互关系，进行对应函数图象的平移、变换等，达到求解的目的． 学会密切联系文字语言、数学符号和数学图形，而用数形结合思想来研究相关问题也是必备的数学素养．

例3已知函数f（x）＝（x－a）（x－b）－ 2（a＜b），m，n（m＜n）是方程f（x）＝0的两个根，试确定实数a，b，m，n的大小关系．

解析：如图所示，设函数g（x）＝（x－a）（x－b）（a＜b），那么函数g（x）＝（x－a）・（x－b）的图象与x轴交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．

而f（x）＝（x－a）（x－b）－2的图象是由函数g（x）＝（x－a）（x－b）的图象向下平移两个单位获得的． 由于m，n（m＜n）是方程f（x）＝0的两个根，则函数f（x）＝（x－a）（x－b）－2的图象与x轴交点的横坐标分别为m，n（m＜n），结合图形可知m＜a＜b＜n．

例4已知一元二次方程x2＋2（m－1）x＋（m＋2）＝0（m∈R），试问：

[y][x][O][1]

图3

（Ⅰ）m为何值时，该方程有一根大于1，一根小于1；

（Ⅱ）m为何值时，该方程仅有一实根在区间［3，4］内？

[y][x][O][y][x][O][3][4][3][4]

图4

解析：（Ⅰ）如图3，设x1＜1，x2＞1，则x1－1＜0，x2－1＞0，只要求（x1－1）（x2－1）＜0，即x1x2－（x1＋x2）＋1＜0，根据韦达定理可得（m＋2）＋2（m－1）＋1＜0，解得m＜－．

（Ⅱ）如图4，方程f（x）＝0在区间［3，4］内仅有一实根的条件为f（3）f（4）＜0，即［9＋6（m－1）＋（m＋2）］［16＋8（m－1）＋（m＋2）］＜0，即（7m＋5）（9m＋10）＜0，解得－＜m＜－．

症状四 ＞＞

缺乏推理证明的训练

表现碰到抽象函数变形或抽象函数的推理与证明就束手无策，无从下手．

症结缺乏抽象函数推理与证明的训练．

突破之道推理与证明以其独有的技巧和方法，在数学学习中具有特殊的地位和作用．推理是数学中最基本的思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式． 在解决问题的过程中，推理具有猜测和发现结论，并探索和提供思路的重要作用，有利于创新意识的培养． 在函数问题的推理与证明中，要综合相关的方法、性质加以综合应用．

例5设函数f（x）满足2f

＝1＋x，其中x≠0，x∈R，求f（x）的解析式．

解析：对已知条件整理可得2f

1＋＝1＋x，将x换成，则换成x，得2f（1－x）＋f（1＋x）＝1＋①，将x换成－得2f（1＋x）＋f（1－x）＝1－②，由①②消去f（1－x），得3f（1＋x）＝1－，则f（1＋x）＝－，令t＝x＋1（x≠0），则x＝t－1（t≠1），所以f（t）＝－（t≠1），所以f（x）＝－（x≠1）．

（Ⅰ）求证： f（x）是偶函数；

（Ⅱ）若存在非零常数c，使f

＝0，求证： f（x）是周期函数，且2c是f（x）的一个周期；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下且c＝2，当2≤x≤3时， f（x）＝x，求f

解析：（Ⅰ）令x＝y＝0，则2f（0）＝2f 2（0），因为f（0）≠0，所以f（0）＝1，令x＝0，则f（y）＋f（－y）＝2f（0）f（y），即f（－y）＝f（y），所以f（x）是偶函数．

（Ⅱ）令y＝，同时用x＋替换x，则f（x＋c）＋f（x）＝2fx

＝0，所以f（x＋c）＝－f（x）， f（x＋2c）＝ －f（x＋c）＝f（x），所以f（x）是周期函数，且2c是f（x）的一个周期．

（Ⅲ）因为2c＝4是f（x）的一个周期，所以f

＝．