导数恒成立问题中求解参数范围时的“肯定与否定”

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做题的最高境界，就是和出题人进行智力对话。一份漂亮的高考试卷，每道题都是出题人智慧的结晶。借着这份试卷，出题人和数百万考生进行了一场长达两个小时的“智力对话”——一开始，一马平川，让考生入手顺畅；然后会有一些起伏的山丘，让考生小心翼翼；接着便是崎岖坎坷的山路，让考生绞尽脑汁。关于每份试卷的“坎”的设计，一定少不了思维的对比与传承。譬如结合“运动与静止，偶然与必然，特殊与一般，肯定与否定，常规与极端”等哲学上一对对关系与矛盾，设计出很多既遵循课本，又富有新意的题目，以便考查学生的知识、能力和意志品质。本文仅就近些年来导数解答题中常见的求恒成立问题中的参数范围问题来谈一谈“肯定与否定”的题型模式与解题对策，以期帮助学生把握出题人的惯用“伎俩”，完成一场高质量的“对话”。

我们先看这类问题的起源，它们源于2006年全国理科第20题：

设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围。

按常规,一般学生都会构造函数g(x)=f(x)-ax，利用导数研究g(x)单调性；然后设法求出g(x)的最小值h(a)，令h(a)≥0,解不等式得到a的取值范围,但求导后发现g′(x)的正负随a的变化而变化,从而难以准确地得出g(x)单调性；即使能够得出g(x)的单调性求出最值h(a)，也难以解不等式h(a)≥0，因为这可能是一个无理或超越不等式。怎么办?尝试分离变量，

当x>0时，得到a

其实这时就特别需要考生沉稳,冷静、仔细揣摩出题人的意图，和出题人进行一场“智力对话”。在难以按常规计算下去的时候，往往预示着出题人对考生思考转换提出了要求,考生要细致梳理,缜密思考，发现出题人的“暗示”，转换思维角度，完成这场对话。

我们看解答：

令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，

对函数g(x)求导:g′(x)=ln(x+1)+1-a。

注意到g(x)=0,我们希望g(x)在\[0,+∞\]为增函数。这样便会有g(x)≥0恒成立，于是关键在于g′(x)的正负判定上。

因为x≥0时，ln(1+x)≥0成立。

于是问题又转化为看1-a的正负。于是有：

当1-a≥0，即a≤1时，对所有x>0，都有g′(x)>0成立，所以g(x)在(0，+∞)上是增函数。又g(0)=0，所以对任意x≥0，有g(x)≥0，即f(x)≥ax成立。

当a>1时，注意到g(0)=0，我们不妨来找一下g(x)在\[0，+∞﹚上一开始是否有一个减区间，从而否定g(x)≥0恒成立。于是有:

令g′(x)

所以g(x)在(0，ea-1-1)上为减函数。

又g(0)=0，所以对x∈(0,ea-1-1)，有g(x)

所以当a>1时,不是对所有x≥0，都有f(x)≥ax成立。

综上所述,使f(x)≥ax恒成立的a的取值范围是(-∞，1\]。

解完这个题后，我们不妨反思一下，看看这个题的“坎”在哪里？我们又是如何转换思维、越过这道“坎”的，以期对以后的解题有所帮助。

我们看到：当a>1时，在(0，ea-1-1)上，g(x)单减，从而g(x)1不能使g(x)≥0恒成立,从而否定了a>1这个范围，所以当我们难以肯定a>1满足题意时，不妨尝试去否定它。而否定恒成立只需举一反例，发现当a>1存在一个区间使g(x)

（作者单位：河南省洛阳一高）