建构圆模型巧解物理题
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物理学中经常会涉及利用圆求解问题，可以说物理与圆有着不解之缘.在物理学中若能巧妙地构建圆模型，便可使复杂的物理问题简单化，抽象的物理问题直观化.本文试通过一些具体的实例来阐明圆在处理物理问题中的巧妙应用.
1等时圆
结论1物体从同一竖直圆周的最高点由静止沿不同的光滑弦下滑，滑至圆周上各点的时间都相等.
结论2物体沿着位于同一竖直圆上的不同光滑弦由静止下滑，滑至圆周最低点的时间都相等.
例1如图2所示，在离坡底B为L的山坡上O点竖直固定一长也为L的直杆AO，A端与坡底B之中接有一钢丝，钢丝处于伸直状态，若一光滑圆环从A点由静止开始无摩擦滑下，求圆环在钢丝上的滑行时间.
TP4GW124.TIF，BP#]解析该题似乎不知道坡底的倾角θ这一条件，无法求解，但我们可以联想到上述模型，即虚设一个圆，该圆以O点为圆心，以L为半径如图3所示，则圆环从A至B的滑行时间等于从A至C的自由落体的运动时间，即AC的长度为2L，由
2同心圆
所有卫星围绕行星的匀速圆周运动，都由其行星对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，只要围绕同一个中心天体做匀速圆周运动，所有卫星的运动轨迹都是同心圆，不管卫星的质量如何，通过
可见，只要通过比较同心圆半径R的大小，就易得三个与质量无关的物理量v、w、T的大小.而在高考的热点卫星变轨问题上，可能会遇到两个速度无法直接比较，则此时需构建同心圆作为中间参量来解决问题.
例2如图4所示，我国发射神舟号飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M距地面200 km，远地点N距地面340 km.进入该轨道正常运行时，其周期为T1，通过M、N点时的速率分别是v1、v2.当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，周期为T2，这时飞船的速率为v3.比较飞船在M、N、P三点正常运行时（不包括点火加速阶段）的速率大小和加速度大小，及在两个轨道上运行的周期，下列结论正确的是
解析利用机械能守恒，可知v1>v2.A正确.根据公式a=SX（]GM]r2SX）]，a2=a3，C正确.对于同一个中心天体而言，比较圆的半径与椭圆的半长轴长，易得T1v1′；根据同心圆半径的关系，v1′>v3；所以v1>v3，故A、B、C正确.
3矢量圆
小船渡河既是生活中的实际问题，也是运动合成与分解中的典型问题，更是高考的重要考查内容.小船渡河问题可以分为两类情况，第一类情况小船在静水中的速度v2大于水流速度v1，第二类情况小船在静水中的速度v2小于水流速度v1，两种情况下，小船的最短渡河时间都是tmin=SX（]d]v1SX）]（船头始终垂直于河岸），小船的最短渡河航程的求解方法则大相径庭，而通过构建矢量圆的求解方法则是第二类情况下小船渡河最短航程的经典方法之一.
例3汽艇在宽为400 m、水流速度为v1=4 m/s的河中横渡河面，汽艇在静水中的速度为v2=2 m/s，则其能过河的最短航程是多少？
解析这种情况下船会被水流冲向下游，如图5所示，设合速度v与河岸下游成α角，α越大，船漂移的距离越短，船的实际位移也就越小，那么，在什么条件下α最大呢？以水流速度v1的矢尖为圆心，静水速度v2的大小为半径构建矢量圆，则当v与矢量圆相切（即v2v）时，α最大.根据
可以求得船头与河岸上游的夹角为
设船的实际最短航程为smin，则由图中三角形相似得
4旋转圆
当很多相同的带电粒子从同一固定点以速度大小不变、入射方向不同垂直进入有界匀强磁场，则所有带电粒子做匀速圆周运动的半径相同，运动轨迹都过同一固定点，但是由于圆心发生变化，给处理问题带来一定的困难.所以利用旋转圆的方法处理，先画出某一特殊粒子的轨迹，然后以固定旋转点为圆心，按顺时针或逆时针旋转这一轨迹圆，从旋转圆的动态变化中即可发现“临界点”.
例4如图6所示，真空室内有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小B=0.6 T，磁场内有一块平行感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l=16 cm处，有一个点状的α粒子发射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速率都是v=3.0×106 m/s.已知α粒子的电量与质量之比SX（]q]mSX）]=5.0×107 C/kg，现只考虑在纸平面内运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域长度.
解析α粒子带正电，用左手定则判定α粒子在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用r表示轨道半径，有
发射源S因向不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，半径均为r=0.1 m，ab上被α粒子打中的区域长度，就可以转化为以S为固定旋转点，r为半径的有特定旋转方向（已标明在图上）的“旋转圆”与ab交点的临界数学问题（如图7所示），由图几何关系得
5放缩圆
当带电粒子质量一定、速度大小可变（或者速度大小不变而质量不同）从同一固定点以相同入射方向垂直进入有界匀强磁场时，则粒子做匀速圆周运动的轨迹圆心一定在与入射方向垂直的所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置（半径不同）不确定，给处理问题带来一定的困难.所以利用放缩圆的方法处理，画出半径最小（或最大）的圆轨迹，依据半径变化将圆放大或缩小，寻找放缩圆与磁场边界的切点即可发现临界点.
例5如图8所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF.一电子从CD边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入，入射方向与CD边界间夹角为θ.已知电子的质量为m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v0至少多大？
解析由R=SX（]mv]qBSX）]可知，R∝v，初速度越大的电子半径越大，过入射点作一较小的圆，然后将圆逐渐放大，如图9所示，所以速度较大的电子到达磁场右边界EF时轨迹圆与EF相切，由几何关系可知
应用数学处理物理问题的能力是高考重点考查的五大能力之一.从以上几例不难看出，圆在物理解题中起着相当重要的作用，恰当地使用可以起到事半功倍的效果，而且有的问题若不借助于圆的话，解起来相当复杂.因此，在日常的教学活动中，我们要注意灵活运用数学知识来解决物理问题，多角度、全方位地培养学生运用数学解决物理问题的能力.