高考数学上海卷第22题的引申与推广

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摘 要：就2012年高考数学上海卷第22题做了简单的引申和推广.

关键词：高考数学；试题；引申；推广

一、高考试题

例：（2012年上海卷理科第22题）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1.

（1）（略）；（2）设斜率为1的直线l交于C1、P，Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OPOQ.

解答：设直线PQ的方程是y=x+b，因直线PQ与已知圆相切，故■=1，即b2=2.将y=x+b代入双曲线方程得x2-2bx-b2-1=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2） 则x1+x2=2b，x1x2=-b2-1

■·■=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+b）（x2+b）

=2x1x2+b（x1+x2）+b2=2（-b2-1）+2b2+b2=b2-2=0

故OPOQ.

不难研究：（1）逆命题：若OPOQ，则l与圆x2+y2=1相切；

（2）设斜率为k的直线l交C1于P，Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OPOQ.以上问题说明了双曲线的弦的端点与原点的连线互相垂直中的定圆问题.

二、试题链接

此类问题在近几年的高考和竞赛试题中较为流行，而且并不局限于双曲线，在椭圆和抛物线中也有类似情况，现举几例.

1.（2008年江苏数学联赛）A，B为双曲线■-■上的两个动点，满足■·■=0.

（Ⅰ）求证：■+■为定值；（Ⅱ）动点P在线段AB上，满足■·■=0，求证：点P在定圆上.（解略）说明：此题中弦AB与定圆相切，切点为点P.

2.（2009山东卷理科第22题）设椭圆E：■+■=1（a，b>0），M（2，■），N（■，1），O为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且■■？若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围；若不存在，说明理由。略解：（Ⅰ）椭圆E的方程为■+■=1.

（Ⅱ）存在圆心在原点的圆：x2+y2=■.

说明：此题反映了椭圆弦的端点与原点的连线互相垂直中定圆的问题.

3.（2000年北京，安徽春季招生）设点A和B为抛物线y2=4px（p>0）上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB.求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

解：（略）M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.

注意：此题中弦AB与定圆不相切.

三、引申推广

本文不加证明地给出下面结论：

1.A，B为双曲线■-■=1（a>0，b>0）上的两个动点，动点P在线段AB上，满足OPAB，则OAOB的充要条件是点P在以原点O为圆心、■（b2>a2）为半径的定圆上.

2.A，B为椭圆■+■=1（a>b>0）上的两个动点，动点P在线段AB上，满足OPAB，则OAOB的充要条件是点P在以原点O为圆心、■为半径的定圆上.

思考：（2012届皖南八校第二次联考）已知椭圆C：■+y2=1，直线l与椭圆C相交于A，B两点，■·■=0（其中O为坐标原点）.（1）试探究：点O到直线AB的距离是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.（2）求OA·OB的最小值.

参考文献：

安振平.解析几何竞赛题中的解法技巧[J].中学数学教学参考，2011（3）：61-63.

（作者单位 安徽省涡阳第四中学）