例谈高中物理极值问题

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇例谈高中物理极值问题范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

极值问题是中学物理应用数学工具的典型问题，它的特点是综合性强，对过程分析要求高，有时还比较隐蔽，使人感到难以入手。笔者在本文中，将通过具体分析一些典型的例子，揭示极值问题的常用方法和注意事项。

【例1】如图所示的电路，AB接在一个稳压电源两端，为理想电流表，试分析，当滑动变阻器的滑片从a移向b的过程中的读数将如何变化？

分析与解：当滑片移至a端时，R0被短路，的读数为 U1R，而滑至b端时的读数显然也为 U1R，所以在滑片从a移至b过程中肯定存在一个极值，我们不妨研究滑片移至中点时的读数，并不妨假定R=2R0，I中 = U1R0+ 112R0× 112= U13R0= 2U13R< U1R，可见的读数先变小后变大。

点评：这种思维方法通常称“极端法”，通常用于处理以中间过程分析、运算比较复杂的问题，一般对于两个“极端”结果相同的问题，中间往往存在极值，至于极大还是极小可借助于对于中间某一特定位置的分析计算，必要时可利用数学上常用的“赋值法”加于判断。当然，这种方法由于只研究了一些特殊位置，缺乏严密性，尤其对于中间过程比较复杂（如出现反复几次变大变小）的问题时要慎重。

【例2】在例1中，设R有Rx接入支路时的读数为Ix。求Ix最小时Rx值。

分析与解： Ix= U1（R-Rx）+ R0Rx1R0+Rx× R01R0+Rx= UR01-（Rx- 112R）2+R0R+ 114R2

显然当Rx= 112R时Ix最小。

点评：用配方法，求解极值是最常用的数学方法，其实是写出所需讨论的物理量的函数式（通常为二次函数），然后通过配方法求解。

【例3】如图所示，三个质量均为m的弹性小球用两根长约为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上。现给中间的小球B一个水平初速度 ，方向与绳垂直。小球相互碰撞时无机械能损失，轻绳不可伸长。求：

（1）当小球A、C第一次相碰时，小球B的速度。

（2）当三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度。

（3）运动过程中小球A的最大动能 和此时两根绳的夹角θ。

（4）当三个小球处在同一直线上时，绳中的拉力F的大小。

分析与解 （1）设小球A、C第一次相碰时，小球B的速度为υB，考虑到对称性及绳的不可伸长特性，小球A、C沿小球B初速度方向的速度也为 ，由动量守恒定律，得mυ0=3mυB，由此解得 υB=113υ0

（2）当三个小球再次处在同一直线上时，则由动量守恒定律和机械能守恒定律，得mυ0=mυB+2mυA 和112mυ02 =112mυB2 +112mυ02A

解得 υB=113υ0，υA=213υ0 （三球再次处于同一直线）

υB=υ0 ，υA=0 （初始状态，舍去）。

所以，三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度为 υB=113υ0（负号表示与初速度反向）。

（3）当小球A的动能最大时，小球B的速度为零。设此时小球A、C的速度大小为u，两根绳间的夹角为θ（如图），则仍由动量守恒定律和机械能守恒定律，得 mυ0=2musinθ12， 112mυ02=2×112mu2

另外，EKA=112mu2。

由此可解得，小球A的最大动能为EKA=114mυ02，此时两根绳间夹角为θ=90o 。

（4）小球A、C均以半径L绕小球B做圆周运动，当三个小球处在同一直线上时，以小球B为参考系（小球B的加速度为0，为惯性参考系），小球A（C）相对于小球B的速度均为υ=υA-υB=υ0，所以，此时绳中拉力大小为 F=mυ21L=mυ021L

点评：本题最难的一问是第（3）问，不少考生试图通过列出A球动能的一般表达式然后用数学方法讨论，结果把问题搞得很复杂，中间还错误百出，但如果能抓住当B球动能最小也即为零时，A、 C两球动能同时达到最大，就很容易处理了。当然，物理隐含条件往往比较隐蔽，需要清晰的物理概念和敏锐的直觉思维才能运用自如。

【例4】在如图a电路中，电源电动势E=3V，内阻r-1Ω，则当滑动变阻器电阻为多少时，电源输出的功率为2W（ ）

A.1 B.2 C.3 D. 112Ω

分析与解：由P=（E1R+r）2，得2= （311+R）2R

解得R1=2Ω R2=112Ω 。

所以选B、D

点评：本题常见的错误是漏选，主要原因是对在极值问题两侧往往存在多解缺乏敏感性。由于R=r时电源的输出功率最大，我们可以作出输出功率随外电阻的变化图如图b，从图上我们可以很直观地发现在极值两侧存在的多解。

【例5】在如图所示电路中，R=2R0 =2r，则当滑动变阻器电阻从0增加R的过程中（ ）

A.电源的输出功率先变大后变小

B.电源的输出功率不断变小

C.变阻器R消耗的功率先变大后变小

D. R0消耗的功率不断变小

分析与解 本题可利用在外电阻与内电阻相等时，电源输出功率最大这一结论（如例4的图b），因为R0=r ，所以在R变大时，外电阻始终大于内电阻，电源的输出功率应不断变小，所以A错误，B正确。

在讨论变阻器功率时，可将 R0折合成电源内阻，此时变阻器即使调至最大也刚好等于电源的“内阻”，所以变阻器功率为R增大时，应不断变大，所以C错误；而R0为定值电阻，只要电流减小功率就减小，所以D正确。

点评：有些物理问题中，尽管“感受”有极值，但由于自变量取值范围的限制，无法真正取得极值，用数学语言描述就是“此函数在定义域的某一区间是单调函数”，对于这种变量分析要格外小心。

【例6】如图（1）所示，底边AB恒定为b，当斜面与底边成夹角θ为多大时，物体沿此光滑斜面由静止从顶端滑到低端所用时间最短？

分析与解：设夹角为 θ时，斜面长为S，物体质量为m，沿斜面方向的加速度为 a，所用时间为t，

受力分析如图（2）所示，根据题意有：S= b 1cosθ①

由运动学和牛顿第二定律有： S= 1 12at2 ②

mgsinθ=ma ③

联立①②③式解得： t= 2S 1a= 3b1gsinθcosθ= 4b1gsin2θ

可见在 0o≤θ≤90o内，当sinθ=1时，即2θ=90o ， θ=45o时，有最短时间tmin= 4b1g

点评：此题的关键是找出问题，物体从斜面顶端至底端所用时间与夹角的关系式，这是运动学和动力学的综合题，应根据运动学和动力学的有关知识列出物理方程，然后再求解。

总之，我们在教学过程中应注重解题方法的选择指导，我们可以根据这几种方法的特点，有目的地设计或选择具有典型的习题，让学生练习。使学生在参与解题过程中体验这些方法的优缺点，从而使学生学会优化解题方法，提高解题质量。