对微积分教学中有关极坐标教学方法的探讨

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【摘 要】极坐标在微积分学里是一个重要的工具，在研究曲线的方程和性质、各种积分的计算和应用中时常会用到它。但随着中学课程的改革，中学已不再介绍极坐标的有关知识，作为学习微积分的一个重要方面，微积分学中不能缺少极坐标，这就造成了中学教材和大学教材之间的脱节，给高校大学生的学习和教师的授课都造成一定的困难。作者根据自己几年来在教学过程中的处理办法，提出了在高校微积分教学中要注意的几个问题和解决办法。

【关键词】极坐标；教学方法

一、极坐标概念的引入

目前的各种高等数学教材中在一元微积分学中几乎没有极坐标的影子，如果在教学中能由浅入深，逐步引导学生理解极坐标的思想，并让他们经常体会到极坐标的有效作用和在许多情况下的方便之处，圆的方程在直角坐标系下表达式比较复杂，但是在极坐标下就变得简单多了。基于以上原因，在介绍预备知识的时候就引入极坐标，然后在后面的各章中适当举一些例子，一方面使学生对极坐标不再陌生，另一方面，随着学习的逐步深入，学生对极坐标的理解会逐步加深，从而逐步把极坐标作为解决问题的一个有力工具。此外，在三重积分的计算中，柱面坐标和球面坐标也是学生的难点，学生理解了极坐标的思想和方法，接受柱面坐标和球面坐标就变得容易了。

二、平面曲线在极坐标下的方程

在利用极坐标求平面区域的面积、平面曲线的弧长以及计算重积分时，都需要知道其中相关曲线的极坐标方程，这个问题对于老师来说当然是非常简单的问题，但是学生却常常不能正确地给出曲线的极坐标方程，当然，如果由于学时的问题，我们不可能做到很严谨的去从理论上完全进行推导，但是基本的思想和几何说明可以在十几、二十分钟之内完成。对于圆心在原点，半径为R的圆周来说，我们可以从几何上利用动点的轨迹解释为“到原点距离等于常数R的动点的运动轨迹”――即极径等于常数R的动点的运动轨迹，因此，其极坐标方程为r=R。另一方面若记形成该圆周的动点的直角坐标为（x，y），极坐标为（r， ），则由于二者之间始终满足关系x=rcos ，y=rsin ，在直角坐标方程下动点满足的方程学生都很熟悉，是x2+y2=R2，故将该关系式带入其中就得到动点的极坐标所满足的方程式，即极坐标方程r=R。如果是圆心在（a，0），半径为a的圆周，那么在直角坐标下，我们仍然可以用动点轨迹的方法来得到其方程为x2+y2=2ax，但此种情况下就不好用动点的轨迹来得到其极坐标方程了，但是我们不难发现，后一种办法仍然是适用的。类似的，对于一般的平面曲线而言，如果知道其直角坐标方程y=f（x）或f（x，y）=0，只要利用两种坐标之间的关系式x=rcos ，y=rsin ，直接带入并进行整理化简就可得到曲线的极坐标方程r=r（ ）。

三、在极坐标下计算二重积分时的积分定限问题

如何定限有两点注意：1.遇到圆域时不要把极角和圆心角搞混了；2.在确定R的变化范围时，不能简单地求出最小值和最大值。

如半圆域{}，在计算该区域上的重积分时，我们需要用极角和极径满足的一组不等式把这个区域表示为{}的形式，那么这里 和 ，r1（ ）和r2（ ）如何确定？事实上，有同学会把极角 的范围确定为[0， ]，极径r的范围确定为[0，a]。在定势思维的作用下习惯性地把极角和圆心角等同起来。关于二重积分的计算，关键的一个问题就是确定化作累次积分时的积分限，在授课时的方法：对于极点不在区域D内部的情形，先做两条从极点出发的射线，极角分别为 和 ，使得积分区域D恰好落在这两条射线所夹的角形区域内且D的边界与这两条射线均相切或部分重合（如图所示），则有 < < ；此时，这两条射线与D的边界的交点（或者是重合的部分）把D的边界分成了两部分，设靠近极点的部分（不妨称为内半边界）方程为r=r1（ ）， 距离极点较远的部分（不妨称为外半边界）方程为r=r2（ ）， 则区域D内的点显然都在内半边界之外，而在外半边界之内，故其极径的取值范围应为r1（ ）

四、在极坐标下计算二重积分时的积分区间问题

利用极坐标计算重积分时，如果能把积分区间化成[0， /2]，则计算起来比较方便。在介绍定积分的换元法时，有几个公式如果强调一下会使利用极坐标进行计算更为方便。比如：，，，n≥2，其中若n是奇数，k=0，若n是偶数，k=1。在利用极坐标计算重积分时，对极角 的积分限常常为[0， /2]、[0， ]或[0，2 ]，此时如能利用上述结果和积分的对称性等，把区间化成[0， /2]常常会使计算更加简洁。例如，====。此类例子在计算积分时常常会见到，这些例子来给学生展示极坐标简单、方便的特性，体现极坐标的优点，对提高极坐标的教学效果会有一定好处。

以上是本人在几年的教学实践中积累的一些经验，其中难免有不妥之处，望同行批评指正，以期共勉。

参考文献：

[1]陈莉，任新安.Laplace算子极坐标表示的一种几何方法[J].数学教学研究，2012（9）：67-68.

[2]邹小云.基于建模思想的大学数学教学方法探究[J].长春理工大学学报，2013（1）：208-209.