浅谈数学教学过程中的逆向思维
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摘 要: 本文就在小学教学中如何加强对学生进行逆向思维的训练，提出了在新授课中增添逆向思维的教学程序、概念的教学中注重互逆关系、在练习中，强化逆向思维的训练等方法。
关键词: 逆向思维
在日常生活中，人们对见到的事物、听到的言语、嗅到的气味一……都要通过各自的感官，输送到大脑，然后由大脑分析、思考发出指令性行动。这一过程，并非是杂乱无章的，总是按照一定的模式进行，即人们在生活中会自然形成一种习惯性的思维方式。这种习惯性的思维活动，在数学教学中常常表现为“正向”思维方式。如8×6=48这样一个算式，人们大都考虑的是8×6的结果，而对48这一结果的形成都需要哪两个数的积，考虑的并不积极，后一种活动就是思维的“逆向”。
一个人的思维可分为正向思维(常规思维)和逆向思维两种形式，它们相辅相成，具有同等重要的地位。然而，在现行小学数学教材中，运用逆向思维来处理的内容很少。因此，利用教材内容对学生进行逆向思维训练的机会不多，受教材内容的影响，思维活动长期处于正向思维活动之中，给出一个数学问题之后，总想力图通过正向思维来思考去获得问题的解决。事实上，有很多数学问题利用正向思维很难获得解决。如果改变一下思维方式，采用逆向思维去思考，就可以使问题得到很方便的解决，甚至可以得出～些创新的解法，获得一些创新的成果。因此，在小学数学教学过程中应该加强对学生进行逆向思维训练。
一、新授课增添逆向思维的学习程序。
在教学过程中，我们会发现，有些学生在学习新知识过程中思维迟缓、呆板、僵化，在互逆关系、互逆命题、互逆运算、公式的正逆向运用等有关知识学习中，从正向思维转向逆向思维，重建思维方向有着较大的困难。这就要求在数学教学中，教师不仅要传授知识，而且要有计划有目的地进行数学所必须的思维转换能力的训练。这种思维训练不仅体现于解题教学中，而且要贯穿于整个教学过程，其中包括概念、原理的教学，公式、法则的推导，命题、定理的证明，数学思想和方法的灌输。只有这样，逆向思维能力的培养才不会落空。新授课是学生学习新知识，掌握新知识的重要环节，而学生的学习方法恰恰也是在新授课时，随着教师的教学程序开始形成。如果教者在传授知识时只注重了学生正向思维的培养，而忽视了(往往容易忽视)逆向思维的培养，势必造成学生思维活动的单向型，也就禁锢了思维的发展。下面举一个教学实例来说明这个问题。
例如：在讲三角形中位线性质时，一般都是要求学生证明一系列的顺次连结各种四边形各边中心组成一个什么样的特殊四边形，这样讲授未尝不可，这对培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力也起到一定的作用，但是这节课的含金量能不能再大些；让学生的思维能力得到更多的训练呢?教者可以这样变化一下，把题目变成一道探索题：顺次连接个什么样的四边形的各边中点能得到一个矩形?一个菱形?一个正方形?这个问题提出来，学生的思维方向与以前不同了，不仅需要正向思考，也需要逆向思考，所得到的四边形的性质也与以前不同了。例如：顺次连接菱形各边中点得到一个矩形，菱形并不是本质的东西，本质的东西是对角线互相垂直。
当问到顺次连结什么样的四边形?学生就会从思想方法上抓住事物的本质，循此思路，在同一节课上，还可以设计一两个例题，同样是没有给足条件而给出结论，让学生去观察，去分析，去发现。这样不仅培养了学生的观察能力和逆向思维能力，而且也学会了分析归纳、完善的思维方法。对于每一个数学题不只是满足于会做，而要勇于探索，多思多变多解，：以此来提高学生求异思维的能力。
不难看出，上述教学程序不仅注重了从已知到未知的正向思维引导，当然这也是一般的教学模式。并且在一般的教学模式中增添了由结果再返回到已知的可逆程序，这一程序的补充是值得赞赏的，它完善了学生在学习性质时的思维过程，形成了双向型思维。
就此题而言，该教学程序不仅仅是局限在“顺次连结各种四边形各边中心组成一个什么样的特殊四边形“的正向思维教学上，而且沟通了与“顺次连接一个什么样的四边形的各边中点能得到一个矩形?一个菱形?一个正方形?”的逆向思维的联系，使学生在全面了接受知识结构的情况下，进行具体的学习。总的看来，学生的逆向思路，在教学中的最初阶段就该形成，否则学生的思维活动就是不健全的，不完整的。
二、注重概念学习中的互逆关系
数学中的许多概念具有可逆性。例如，互为相反数的数，互补、互余的角，函数与反函数等等。对于较容易理解和接受的可逆概念，可以通过一些具体的例子和练习让学生掌握。例如，在《几何》的学习中，对于原命题、逆命题这一个概念，学生往往只注意到逆命题是原命题的逆命题，『而忽视了原命题也是其逆命题的逆命题，也就是说，如果命题(2)是命题(1)的逆命题，反过来命题(1)也是命题(2)的逆命题，这一点只须在讲解教材例题的过程中加以强调即可。对于充要条件这一概念也是如此，我们只需要给出一些例子，让学生感受到充要条件是互为充要条件，也就可以了。
然而，对于较难理解的可逆概念，必须在学生已经牢固掌握正概念的基础上，辅以适当的正、逆向问题，因势利导地引入逆概念，例如：反函数的教学。首先复习函数知识，深刻领会函数的意义，明确它的表示符号，然后才能进行反函数的引入。请学生思考①函数y=2x(x∈R)中，哪个是自变量，哪个是函数?②能否从y=2x中解出x？③解出x后得到的式子是不是一个函数？④如果是一个函数，它和y=2x(x∈R)有什么不同？接着换另外一个函数武，问同样的四个问题。通过对这问题的思考、回答，学生会发现两点：
(1)解出x后得到的式子不一定是函数；
(2)如果解出x后得到的式子是一个函数的话，它的定义域恰好是原函数的值域，而它的值域恰好是原函数的定义域。在此基础上，给出反函数的概念，就是水到渠成的事了。但仅到此为止，还不能让学生巩固对反函数的认识，要通过一些比较直观的例子让学生感受到：如果函数A是函数B的反函数，那么B也是A的反函数。为此，可布置如下练习，①求y=5＋x，R压+1的反函数；②求y=x--5，y=(x—1)2(x≥1)的反函数。
三、挖掘练习题功效，强化逆向思维的训练
练习是学生对已学知识的消化吸收，也是学生用自我意识去调节自己的思维活动的手段。所以说充分发挥练习题的作用，强化逆向思维的训练，对发展学生的思维品质有着不可估量的作用。
摘 要: 本文就在小学教学中如何加强对学生进行逆向思维的训练，提出了在新授课中增添逆向思维的教学程序、概念的教学中注重互逆关系、在练习中，强化逆向思维的训练等方法。
关键词: 逆向思维
在日常生活中，人们对见到的事物、听到的言语、嗅到的气味一……都要通过各自的感官，输送到大脑，然后由大脑分析、思考发出指令性行动。这一过程，并非是杂乱无章的，总是按照一定的模式进行，即人们在生活中会自然形成一种习惯性的思维方式。这种习惯性的思维活动，在数学教学中常常表现为“正向”思维方式。如8×6=48这样一个算式，人们大都考虑的是8×6的结果，而对48这一结果的形成都需要哪两个数的积，考虑的并不积极，后一种活动就是思维的“逆向”。
一个人的思维可分为正向思维(常规思维)和逆向思维两种形式，它们相辅相成，具有同等重要的地位。然而，在现行小学数学教材中，运用逆向思维来处理的内容很少。因此，利用教材内容对学生进行逆向思维训练的机会不多，受教材内容的影响，思维活动长期处于正向思维活动之中，给出一个数学问题之后，总想力图通过正向思维来思考去获得问题的解决。事实上，有很多数学问题利用正向思维很难获得解决。如果改变一下思维方式，采用逆向思维去思考，就可以使问题得到很方便的解决，甚至可以得出～些创新的解法，获得一些创新的成果。因此，在小学数学教学过程中应该加强对学生进行逆向思维训练。
一、新授课增添逆向思维的学习程序。
在教学过程中，我们会发现，有些学生在学习新知识过程中思维迟缓、呆板、僵化，在互逆关系、互逆命题、互逆运算、公式的正逆向运用等有关知识学习中，从正向思维转向逆向思维，重建思维方向有着较大的困难。这就要求在数学教学中，教师不仅要传授知识，而且要有计划有目的地进行数学所必须的思维转换能力的训练。这种思维训练不仅体现于解题教学中，而且要贯穿于整个教学过程，其中包括概念、原理的教学，公式、法则的推导，命题、定理的证明，数学思想和方法的灌输。只有这样，逆向思维能力的培养才不会落空。新授课是学生学习新知识，掌握新知识的重要环节，而学生的学习方法恰恰也是在新授课时，随着教师的教学程序开始形成。如果教者在传授知识时只注重了学生正向思维的培养，而忽视了(往往容易忽视)逆向思维的培养，势必造成学生思维活动的单向型，也就禁锢了思维的发展。下面举一个教学实例来说明这个问题。
例如：在讲三角形中位线性质时，一般都是要求学生证明一系列的顺次连结各种四边形各边中心组成一个什么样的特殊四边形，这样讲授未尝不可，这对培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力也起到一定的作用，但是这节课的含金量能不能再大些；让学生的思维能力得到更多的训练呢?教者可以这样变化一下，把题目变成一道探索题：顺次连接个什么样的四边形的各边中点能得到一个矩形?一个菱形?一个正方形?这个问题提出来，学生的思维方向与以前不同了，不仅需要正向思考，也需要逆向思考，所得到的四边形的性质也与以前不同了。例如：顺次连接菱形各边中点得到一个矩形，菱形并不是本质的东西，本质的东西是对角线互相垂直。
当问到顺次连结什么样的四边形?学生就会从思想方法上抓住事物的本质，循此思路，在同一节课上，还可以设计一两个例题，同样是没有给足条件而给出结论，让学生去观察，去分析，去发现。这样不仅培养了学生的观察能力和逆向思维能力，而且也学会了分析归纳、完善的思维方法。对于每一个数学题不只是满足于会做，而要勇于探索，多思多变多解，：以此来提高学生求异思维的能力。
不难看出，上述教学程序不仅注重了从已知到未知的正向思维引导，当然这也是一般的教学模式。并且在一般的教学模式中增添了由结果再返回到已知的可逆程序，这一程序的补充是值得赞赏的，它完善了学生在学习性质时的思维过程，形成了双向型思维。
就此题而言，该教学程序不仅仅是局限在“顺次连结各种四边形各边中心组成一个什么样的特殊四边形“的正向思维教学上，而且沟通了与“顺次连接一个什么样的四边形的各边中点能得到一个矩形?一个菱形?一个正方形?”的逆向思维的联系，使学生在全面了接受知识结构的情况下，进行具体的学习。总的看来，学生的逆向思路，在教学中的最初阶段就该形成，否则学生的思维活动就是不健全的，不完整的。
二、注重概念学习中的互逆关系
数学中的许多概念具有可逆性。例如，互为相反数的数，互补、互余的角，函数与反函数等等。对于较容易理解和接受的可逆概念，可以通过一些具体的例子和练习让学生掌握。例如，在《几何》的学习中，对于原命题、逆命题这一个概念，学生往往只注意到逆命题是原命题的逆命题，『而忽视了原命题也是其逆命题的逆命题，也就是说，如果命题(2)是命题(1)的逆命题，反过来命题(1)也是命题(2)的逆命题，这一点只须在讲解教材例题的过程中加以强调即可。对于充要条件这一概念也是如此，我们只需要给出一些例子，让学生感受到充要条件是互为充要条件，也就可以了。
然而，对于较难理解的可逆概念，必须在学生已经牢固掌握正概念的基础上，辅以适当的正、逆向问题，因势利导地引入逆概念，例如：反函数的教学。首先复习函数知识，深刻领会函数的意义，明确它的表示符号，然后才能进行反函数的引入。请学生思考①函数y=2x(x∈R)中，哪个是自变量，哪个是函数?②能否从y=2x中解出x？③解出x后得到的式子是不是一个函数？④如果是一个函数，它和y=2x(x∈R)有什么不同？接着换另外一个函数武，问同样的四个问题。通过对这问题的思考、回答，学生会发现两点：
(1)解出x后得到的式子不一定是函数；
(2)如果解出x后得到的式子是一个函数的话，它的定义域恰好是原函数的值域，而它的值域恰好是原函数的定义域。在此基础上，给出反函数的概念，就是水到渠成的事了。但仅到此为止，还不能让学生巩固对反函数的认识，要通过一些比较直观的例子让学生感受到：如果函数A是函数B的反函数，那么B也是A的反函数。为此，可布置如下练习，①求y=5＋x，R压+1的反函数；②求y=x--5，y=(x—1)2(x≥1)的反函数。
三、挖掘练习题功效，强化逆向思维的训练
练习是学生对已学知识的消化吸收，也是学生用自我意识去调节自己的思维活动的手段。所以说充分发挥练习题的作用，强化逆向思维的训练，对发展学生的思维品质有着不可估量的作用。
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